宅浪生で聞く人がいません。頭の良い友達に聞いたところ わからない と返事がきました。 お願いです。教

宅浪生で聞く人がいません。頭の良い友達に聞いたところ わからない と返事がきました。
お願いです。教えてください。

最高次の係数について

ある問題
恒等式 3f(x)=xf'(x)+2x^2+x 2 が成立している。このとき、f(x)のx^2の項の係数は□、xの項の係数は□である。また、方程式f(x)=0が重解をもつときf(x)はxの□次式であり、その次数の係数は□である。

f(x)の次数を求める問題について

f(x)＝ax^n…… (a≠0 n≧1)➀とおいて最高次の係数と次数の比較をするが定石ですが
この場合簡単におくことができません。

しかし、
ある問題
多項式P(x)は恒等式 P(P(x))= P(x^2) を満たしている。このとき P(x)を求めよ。

この問題は➀とおいて解くことができます。

1番目の問題をした時
f(x)=ax^n…を簡単におくことが出来ないと思ったの
は 比較の際 3a=anとなり a=0でも成り立つからであり恒等式を満たすf(x)が１つでないと思ったからです。

しかし
2番目の問題で
比較の際 a^(n+1)=aとなり a=0でも成り立ちます。

わけがわかりません。
実際にやって頂けると嬉しいです。

質問者からの補足コメント

• 訂正
  1番目の問題
  恒等式の 最後の方についている2は
  問題に関係ないです。
  …2x^2+x が成立している。
  です！

    補足日時：2018/08/16 15:27

• 度々すいません。
  
  質問内容は
  一般的に
  こういう問題を解くのは 最高次の項 ax^nとおいて議論しますが 簡単における場合とおけない場合の違いがわかりません。そのことについて詳しく教えて欲しいです

    補足日時：2018/08/16 15:34

No.2 回答者： ko-papa 回答日時： 2018/08/16 23:47

こんな感じでは？

まず前半。
2次の係数をbと置き両辺の2次の係数を比較してb=1、1次の係数をcと置き両辺の1次の係数を比較してc=2、が得られる。ついでに定数項をdと置いて同じことをすればd=0。これらより、f(x)は2次以上。

後半。
f(x)が2次式と仮定すると、上記よりf(x)=x^2+2x。これは重解を持たないため矛盾。よって、f(x)は3次以上。

従って、f(x)の最高次の項をax^n(n≧3, a≠0)と置くことができる。両辺のn次の項を比較して、3a=an。a≠0よりn=3。

従って、f(x)=ax^3+x^2+2x=x(ax^2+x+2)。x=0が重解でないことは明らかなので、ax^2+x+2=0が重解を持つ。判別式=0よりa=1/8。

No.1 回答者： kacchann 回答日時： 2018/08/16 20:05

自信ありませんが、回答。

勘違いがあったらごめん。

>最高次の係数と次数の比較をするが定石ですが
>この場合簡単におくことができません。

ふつうに「おける」気がするけど。

f=ax^n + …[a≠0]
とおくと
恒等式左辺＝3ax^n + …[最高次数はn]
恒等式右辺＝anx^n + … + 2x^2 + …[最高次数は「nと2のうち大きいほう」]

[n=2のとき]
左辺、右辺の最高次数は2である。よって
左辺の最高次の項＝3ax^2
右辺の最高次の項＝(2a+2)x^2
よって係数比較してa=2
また、f(x)=2x^2 + bx + cとおけるから、
恒等式左辺＝6x^2 + 3bx+ 3c
恒等式右辺＝6x^2 + (b+1)x

あとは係数比較でb,cをもとめればよい。

[n≧3のとき]
左辺、右辺の最高次数はnである。よって
左辺の最高次の項＝3ax^n
右辺の最高次の項＝anx^n
よって係数比較して
3a=an<==>
(aで両辺をわって)n=3　[注:a≠0]

よってf(x)は3次式であり、f=＝ax^3 + bx^2 + cx +dとおける。
よって
恒等式左辺＝3ax^3 + 3bx^2 + 3cx + 3d
恒等式右辺＝3ax^3 + (2b+2)x^2 + (c+1)x

あとは係数比較でb,c,dをもとめればよい。