なぜアキレスはカメに追いつけるのか

カメとアキレスがかけっこをする時、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできない。


という昔からよくある話ですが、これについて数学に弱い人を含む多くの人を納得させられるような説明はできるのでしょうか。
Web上で見た説明は難しい物ばかりで数学に弱い私には良く分かりません。
できるなら小学生でも分かるような説明をどなたかお願いします。

No.1 回答者： kokiriko 回答日時： 2001/07/28 23:36

小学生にもわかる「アキレスとカメ」の話のページです。

でもこの話、屁理屈以外の何者でもないと思うのですが・・・

参考URL：http://www2.plala.or.jp/kamkamkam/gimon/no6/kame …

No.2 回答者： blackleon 回答日時： 2001/07/28 23:46

グラフを書いたらどうでしょう。

Ｘ軸に時間、Ｙ軸に距離をとると傾きが速さになります。
カメは原点からある一定の速さ（傾き）で走り(歩き）ます。
少し遅れて（時間Ｔだけ遅れてＸ軸（Ｔ、０）から出発）アキレスがカメよりも速く（カメより大きな傾きで）走ります。
二つの線は、かならずどこかで交わります。そこがアキレスがカメに追いつく場所（時間と距離）です。

No.3 回答者： taropoo 回答日時： 2001/07/29 00:12

要するに話がどんどんスローモーション化してるから追いつけないように見えると言う事でしょう。

No.4 回答者： DASS 回答日時： 2001/07/29 00:23

小学生にわかるかどうか疑問ですが・・・

たぶん、この論理は正しくて、確かに「アキレスは亀においつかない」のでしょう。
でも、それは立場（見方）が違うからです。

「追いつく」「追いつかない」なので２つのことを考えなければなりません。それは「時間」と「距離」です。
「追いつく」というからには、「同じ時間に同じ場所にいる」事が前提です。つまり、「同じ時間に片方のスタート地点からの距離が、両者で同じ」と言うことです。

さて、この問題の場合、前半は距離について話しています。「アキレスがさっきの亀に位置まで進むと、亀は先に進んでいる」は距離の話です。
確かに距離のことだけを考えれば、絶対に追いつきません。
しかし、「アキレスがさっきの亀の位置まで進む時間」はどうでしょう？こっちもどんどん短くなっていきますよね。アキレスと亀の距離が近づけば近づくほど、「アキレスがさっき亀がいた位置に到着する時間」も短くなりますよね。いつかは０秒と思えるほど短い時間になります（小学生に極限は使えませんよね・・・）。問題のような条件でアキレスと亀が競争している時間は何秒ぐらいでしょうか？
簡単に「亀はアキレスの１０ｍ前からスタートする。亀は１秒間に５ｍすすみ、アキレスは１秒間に１０ｍ進む」としましょう。
スタートして１秒後には、アキレスは亀のスタート位置にいます。そして亀は５ｍ先に進んでいます。
次にアキレスが亀の位置に到着するのは０．５秒後です。亀は０．２５ｍ進んでします。
そして・・・アキレスは、いつまで経っても亀に追いつきません。なぜなら競争時間が２秒に到達しないからです
つまり、「スタートしてからの経過時間に限度を設けている」のです。それもよく考えないとわからないように混乱させながら。
いくらアキレスが早くても、「亀に追いつかない様に時間設定された条件」が、暗黙の内に課せられているのですから、アキレスが亀に追いつかないのは当然です。

またこの問題は、最後でいきなり「いつまでたっても」という時間を意味する言葉を使うことで、いかにも「時間の流れがいつでも同じようである」かの錯覚を与えています。
数学的だけでなく、心理的にも上手に作られてますよね。

こんな説明でよろしいでしょうか？

No.5 回答者： nabayosh 回答日時： 2001/07/29 00:34

kokirikoさんの紹介ページで論点がわかりました。

要するに、まずカメが１０００メートル先を行っているとします。
アキレスが１０００メートル地点に来た時、カメがアキレスの半分の速さであったとして、アキレスの５００メートル前にいることになります。
で、アキレスがさらに５００メートル先に進むと、カメはその２５０メートル前にいる、ということですね。

うーむ。
つまり、この問題がおかしいのは、速さは一定で計算していますが、時間を無視しているように感じるのです。
もちろん、時間が速さのために重要な役割を果たしているのはわかるのですが。

まずですね、１０００メートルにアキレスが３分かかるとしましょう。
５００メートル動くのには１分半。
２５０メートル動くのには４５秒。
あれれ、どんどん時間が半分になっているのです。
つまり、時間が０に限り無く近付いているのです。
一方、足される距離はどうでしょう。
（１／２）＋（１／４）＋（１／８）＋…＝限り無く１に近付くだけ
という決まりがありますね。
つまり、このやり方では、アキレスが６分走った時の記録は、限りなく近い数値しか出てきません。
だから、アキレスが６分以上経ってカメを抜かすかどうかはわからない。

この問題では、アキレスはカメとの間にある無限の点を通らなくてはならないので追いこせないと言いますが、そんなことはない。
なぜなら、カメだって、アキレスに追われつつ真っすぐ無限の点を通ることになるのですから。

これでどうでしょう？
え、わかりにくいですか？
じゃあカメの側から見てみるっていう手があります。
カメの速さがアキレスの半分だったとします。（話と計算をわかりやすくするため）
今、１０００メートル離れています。
カメが５００メートル進むと、アキレスはカメから見て後ろ５００メートルの位置にいます。
カメがさらに２５０メートル進むと、アキレスは後方……０メートル？　おや、並んでいます。
こういうことなんですよ。
カメがさらに１２５メートル進むと、アキレスは後方マイナス２５０メートル、ってことは前方２５０メートル。
抜かされちゃうってことですよ。現実は。

これでどうかなぁ。

No.6 回答者： noname#1280 回答日時： 2001/07/29 00:45

僕もこの手の「パラドックス」に興味を持った事があり、中学の時にこの

「アキレスとカメ」を友人から教わりました。

当時、僕も友人も頭をひねり、色々と証明を考えましたが。

一番、明確で理解しやすい説明方法は・・・・

『論より証拠』って御存知？？←失礼。m(__)m

実際にカメを追い抜いてみました。（笑）（当時14歳）

夜市で入手した「銭亀」と実際に競争しましたが、楽勝で追い抜けます。（当然ですが）

で、結局「『さっきカメのいた場所に今着いた！』って立ち止まるヤツはいない。」
って言うのが中学生の結論でしたね。（実にシンプル）

余談：
似た話に「壁に矢はいつまで経っても刺さらない」ってのもありましたね。。(^^ゞ

No.7 回答者： DASS 回答日時： 2001/07/29 00:53

＃４で書き忘れました。

本題「なぜアキレスは亀に追いつけるか？」について説明していませんでした。

アキレスが亀に追いつくためには、「競争時間の制約」を取り外すことが必要です。
つまり、「競争時間を、アキレスが亀に追いつく直前までに制限する」という、元の問題に勝手に付けられた暗黙の制約を取り外し、「競争中の時間の流れを一定とし、かつ制限を設けない」という、実生活上、非常に当たり前な条件にすれば良いのです。

ふたたび、亀はアキレスの１０ｍ前にいて、アキレスは１０ｍ／秒、亀は５ｍ／秒の速度とします。
スタートして１秒後にアキレスは亀のスタート位置にいて、亀は５ｍ先に進んでいます。ここまでは何も変わりません。
次の１秒後には、合計で２秒間走っていることになり、アキレスは「１０ｍ/秒 Ｘ ２秒＝合計２０ｍ」進み、亀は「ハンデ１０ｍ＋５ｍ/秒 Ｘ ２秒＝合計２０ｍ」進んでおり、これでアキレスは亀に追いつきます。
一度追いつけばアキレスの方が早いのですから、２秒をちょっとでも過ぎれば、アキレスの方が亀の前にいます。
もちろん、３秒目にはアキレスは亀の５ｍ前にいます。

こんな感じでどうでしょうか？

No.8 回答者： redbean 回答日時： 2001/07/29 00:58

あくまで小学生向けということで書きます。

まず、アキレスがカメにあと１０ｃｍまでせまったところ
を想像してもらいましょう。

そこでアキレスが次の１歩を踏み出すと．．．
カメをまたぎ越してしまいましたとさ。

No.9 回答者： KOH_da 回答日時： 2001/07/29 02:56

アキレスが一度もカメを追い越さないからです。

話の中で、アキレスはカメのもといた位置までしか進ませないので、
いつまでたっても追い越せないし、追い付くこともできないのです。
話の中でカメの前10mまで進ませたら、
追い越したし、追いついたことにもなります。

話の中で、カメを追い越さないどころか、
追い付けない位置(もといた位置=追いついていない)までしか、
進ませていないのですから、当然だと思います。

No.10 回答者： ARC 回答日時： 2001/07/29 03:44

[アキレス]が走り始めてから、[カメ]との距離を半分にするのに８秒かかったとします。

更にその残りの距離を半分にするのに、４秒かかったとします。
更に更に、その残りの距離を半分にするのに２秒かかります。
更に更に更に半分にするには、１秒。
そのまた半分にするには0.5秒かかるわけです。

[アキレス]が[カメ]に近づくにつれてスローモーションになるカメラをイメージしてみてください。カメラは、[アキレス]の肩に据え付けてあります。

[アキレス]が走り始めたときは、ごく普通に映像が映りますが、カメに近づくにつれ、[アキレス]は徐々にゆっくりとした動きになるはずです。
彼がカメに追いつく一瞬前になると、彼の動きは空中で静止したまま、ピクリとも動かなくなるでしょう。
丁度、某車のＣＭみたいな感じですね。走ってる車が空中でぴたっと動きを止め、その周りをカメラがぐるっと回るやつ。
で、時が動き始めると車が颯爽と走り出すのと同様、アキレスのカメラも、スローモーション機能のスイッチを切ると同時に、[アキレス]がひょいとカメをまたぎ越えていくわけです。

もし彼が、スローモーション機能のないカメラを担いでいるとしたら、彼は易々と[カメ]を追い越しているように見えることでしょう。

ってことで、このパラドックスが教えているのは、物事をどのような視点で観察するかによって、その見え方がまったく変わってくるってことなんです。

特殊なスローモーション機能を備えた目でみれば、私たちが普段見ている風景と異なる、「アキレスがカメを追い越せない世界」を写し取ることが出来るんですね。

でも、だからといって、[ア]が[カ]を追い越せないわけじゃないです。例えば、カメラを逆回しにして[アキレス]を撮影すれば、彼は後ろ向きに走ってるように見えるし、カメラを回す速度を１０分の一にして撮影すれば、アキレスが１０倍の猛スピードで走ってるような映像が撮れます。

どのような撮影方法をしても結局は、[ア]が[カ]を追い越すんですが、撮影方法のトリックを使えば、あたかもカメを追い越せないような錯覚を与える映像を撮ることが出来るんですね。