【数Ⅱ】導関数,接線の問題について

問題
曲線C:y=x^3+x^2-1の接線のうち原点を通るものをLとする。このLは接点以外にCと点(ア,イ)で交わる。

画像の線を引いたところまではなんとか自分で書いたのですが、その先がわかりません。
(t+1)(2t^2-t+1)=0
を普通に解こうとすると、後ろのカッコで解の公式を使っても虚数が出てきてしまうのでtは1個しか無いんだろうなとは思うのですが、恥ずかしいことですが解答の式がどういう意味なのかわからないので教えてください。
また、
X^3+x^2-x-1=0
(x+1)^2(x-1)=0
の計算のやり方を教えてください。

画質劣化少なめ↓
http://bit.ly/2UokpiF

No.3 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/17 17:51

失礼しました、接点の座標（ｔ、ｔ³＋ｔ²－１）と変数ｘを区別するのを忘れてました。

以下訂正します。
曲線C:y=x^3+x^2-1の接線のtでの傾きはｙ’＝３t²＋２t、よってＬはｙ＝（３t²＋２t）＊ｘ＋ｂ
Ｌは原点を通るので、切片ｂ＝０からＬはｙ＝（３t²＋２t）＊ｘ・・・①
①はy=x^3+x^2-1と接点（重解=t）と交点を持つので、それぞれのｘの値をt、βとすると。
（x^3+x^2-1）-（３t²＋２t）＊ｘ＝a（ｘーt）²（ｘーβ）＝０
ｘ³＋ｘ²-（３t²＋２t）ｘー１＝a(ｘ³－（２tーβ）ｘ²＋（t²ー２tβ）ｘ＋t²β）から
a＝１、（２ｔーβ）＝－１、（ｔ²ー２ｔβ）＝-（３t²＋２t）、ｔ²β＝－１
（ｔ²ー２ｔβ）＋（３t²＋２t）＝４ｔ²＋２ｔ（ーβ＋１）＝０　⇒2t²＋ｔ（ーβ＋１）＝０
β＝ー１/ｔ²を代入して　２ｔ²＋ｔ＋１/ｔ＝０⇒２ｔ³＋ｔ²＋１＝（ｔ＋１）（２ｔ²－ｔ＋１）＝０
２ｔ²－ｔ＋１は判別式からＤ＝１－９＝－８＜０より、あらゆるｔで２ｔ²－ｔ＋１＞０
よって（ｔ＋１）＝０からｔ＝－１
ｔ＝ー１は接点（重解）なので
交点はβ＝ー１、この時ｙ＝ー１
点（ア、イ）＝（ー１、－１）
と上手くできました。

この回答へのお礼

ものすごくわかりやすかったです。
本当にありがとうございました。
http://bit.ly/2ZyZD3s
↑全部言ってる意味のわかる回答ができました。嬉しいです。
ありがとうございました。

お礼日時：2019/04/26 17:31

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/04/17 11:00

曲線C:y=x^3+x^2-1の接線のｘでの傾きはｙ’＝３ｘ²＋２ｘ、よってＬはｙ＝（３ｘ²＋２ｘ）＊ｘ＋ｂ

Ｌは原点を通るので、切片ｂ＝０からＬはｙ＝（３ｘ²＋２ｘ）＊ｘ・・・①
①はy=x^3+x^2-1と接点（重解）と交点を持つので、それぞれのｘの値をα、βとすると。
（３ｘ²＋２ｘ）＊ｘー（x^3+x^2-1）＝a（ｘーα）²（ｘーβ）＝０
２ｘ³＋ｘ²＋１＝a(ｘ³－（２α＋β）ｘ²＋（α²＋２αβ）ｘ－α²β）から
a＝２、（２α＋β）＝－１/２、（α²＋２αβ）＝０、－α²β＝１/２
（α²＋２αβ）＝α（α＋２β）＝０からα＝－２β
（２α＋β）＝－１/２へ代入して　－３β＝－１/２　⇒β＝１/６　⇒α＝ー１/３
α＝ー１/３は接点（重解）なので
交点はβ＝１/６、この時ｙ＝－２０９/２１６
点（ア、イ）＝（１/６、－２０９/２１６）
となりますが
β＝１/６　⇒α＝ー１/３
は－α²β＝１/２
と矛盾します。
曲線Cの式に間違いはありませんか？y=x^3+x^2-1

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2019/04/16 23:37

増減表で、x=-2/3 のときの y の値は　y=-8/27+4/9-1=-23/27　では？

(t+1)(2t^2-t+1)=0　を満たす実数 t の値は解答の通り　t=-1　　⇐　これから、接線Ｌの式が求まり、さらに、交点の座標が求まる


x^3+x^2-x-1=0　の因数分解は、例えば
x^3+x^2-x-1=0 　　　⇐　前の２項を x^2 でくくり、後ろの２項を －(マイナス) でくくる
x^2(x+1)-(x+1)=0　　⇐　x+1 が共通因数でくくれる
(x+1)(x^2-1)=0 　　　⇐　後ろの括弧内の x^2-1 が因数分解できる
(x+1)^2(x-1)=0



接点のｘ座標をｔとおいて
①　点(t,t^3-t^2+1)における接線の方程式をつくる
　　　⇒　　y-(t^3-t^2+1)=(3t^2+2t)(x-t)
　　　　　　y=(3t^2+2t)x-2t^3-3t^2+1　　･･････（★）

②　この接線が原点を通るから x=0, y=0 を代入してｔの式をつくり、ｔの値を求める
　　　⇒　　0=-2t^3-3t^2+1
　　　　　　2t^3+3t^2-1=0
　　　　　　(t+1)(2t^2+t+1)=0
　　　　　　解答の通り　2t^2+t+1=2(t+1/4)^2+7/8>0　より　t=-1

③　t=-1 を（★）に代入して、接線Ｌ：y=x が求まる

④　曲線Ｃと接線Ｌの共有点を求め、x=-1 以外の x の値が求める交点のｘ座標