Σ(k=1~n) 1/n・{√(2k+1)}/√n の極限を求めてください。

解けないとありましたが、残念なので
Σ(k=1~n) 1/n・{√(2k+1)}/√n
の極限を区分求積法で解いてください。

だれが、何のために削除するんだか? 解せん。

質問者からの補足コメント

• 

  削除者が「しっつこい」かもしれないので、
  無駄にならないように、回答者はしばらく待
  ったほうがよいでしょう。

    補足日時：2020/11/27 18:29

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/27 23:11

（自分にとっては久々の）endlessriverさんからのお題だ。

少々トリッキーな内容になっちゃったけど、区分求積法で解いてみた。

Σ[k=1,n](1/n)√(2k+1)/√n
=Σ[k=1,n](1/n)√((2k+1)/n)
=-(1/n)√(1/n) - (1/n)√(2n/n) + Σ[k=1,2n](1/n)√(k/n) - Σ[k=1,n](1/n)√(2k/n)
=-(1/n)√(1/n) -√2/n + Σ[k=1,2n](1/n)√(k/n) - Σ[k=1,n](1/n)√(2k/n)

lim[n→∞] Σ[k=1,n](1/n)√(2k+1)/√n
=lim[n→∞] -(1/n)√(1/n) -√2/n + (1/n)Σ[k=1,2n]√(k/n) - (1/n)Σ[k=1,n]√(2k/n)
=∫[0,2]√x dx - ∫[0,1]√(2x) dx
=∫[0,2] x^(1/2) dx - ∫[0,1]√2x^(1/2) dx
={(2/3)x^(3/2)}[0,2] - {(2/3)√2x^(3/2)}[0,1]
=4√2/3 - 2√2/3
=2√2/3

この回答へのお礼

酔っぱらっているので詳細は見ていないが、手順も答えも同じだ。
残念ですが、削除されないうちに完了する。

お礼日時：2020/11/27 23:25

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/27 23:03

「区分求積法で解いて」というのは話がおかしいということはどっかで回答した気がするが、えーと、

　　J = ∫{x=0〜1} √(2x) dx = (2√2)/3
として、
　　Δx = 1/n, x = kΔx
　　S(n) = Σ{k=0〜n-1}Δx √(2kΔx)
　　T(n) = Σ{k=0〜n-1}Δx √((2k+1)Δx)
　　U(n) = Σ{k=0〜n-1}Δx √((2k+2)Δx)
とすれば
　　S(n)＜T(n) ＜U(n)
　　S(n)＜J ＜U(n)
であり、
　　J = lim{n→∞} S(n) = lim{n→∞} U(n)
だから
　　J = lim{n→∞} T(n)
だね。で、
　　T(n) = (1/(n√n)) Σ{k=0〜n-1}√(2k+1)
である。
　さてご質問の式は
　　T(n) + (√(2n+1) - 1) /(n√n)
と表せる。この第2項がn→∞で0になるのは明らか。
　だから、ご質問の答は (2√2)/3

　つまり、「区分求積法で解いて」というんじゃなくて、
　　∫{x=0〜1} √(2x) dx
の計算をあえて区分求積法でやったのがご質問の式だ、ということのようです。

この回答へのお礼

前回BAが出ているようなので、もう一方の方にさせてもらいました。

お礼日時：2020/11/27 23:25