積分の問題について

積分の問題について質問です。
画像のような積分を計算しなさい。但し，積分記号下の |z−a|=r は， a を中心とする半径 r の円に正の向きがつけられた閉曲線とする。
と言う問題で
上の問題の答えが5πi/2
真ん中の問題の答えが-2/e
下の問題の答えが7/11
になったのですが合っていますか？
間違っていれば解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 真ん中と下の問題は合っていますか？
  それとこの条件は前回質問した問題と同じなので自分が間違えているかもしれません

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/02 18:22

• 3個目は計算ミスしてました。
  2個目はやはり-2/eではないでしょうか。
  これ言ってなかったんですけど、2個目の問題だけ選択式で、0,2πie,-2πie,2/e,-2/eの5つから選択する感じです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/02 18:36

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/02 20:08

ああ、

∫[C]{ z exp z }dz
= ∫[1,-1]{ z exp z }dz
だった。
2個目は、あなたのほうが正しい。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/02 18:26

2個目：

正則関数の積分だから、やり方は実積分と同じ。
部分積分を行って、
∫[C]{ z exp z }dz
= ∫[0,-1]{ z exp z }dz
= [ z exp z ]_{0,-1} - ∫[0,-1]{ 1 exp z }dz
= [ z exp z ]_{0,-1} - [ exp z ]_{0,-1}
= { (- exp -1) - (0 exp 0) } - { (exp -1) - (exp 0) }
= { -1/e - 0 } - { 1/e - 1 }
= 1 - 2/e.
これは凡ミスしてるよ。

3個目：
z = -√3 から z = +√3 まで実軸上を進む経路を I と置く。
留数定理より、
∫[γ]dz/(z-i) + ∫[I]dz/(z-i) = ∮dz/(z-i) = (2πi)1.

左辺第2項を実積分に帰着させたい。
∫[I]dz/(z-i) = ∫[I]{ (z+i)/((z-i)(z+i)) }dz
= ∫[I]{ z/(z^2+1) + i/(z^2+1) }dz
= ∫[I]{ z/(z^2+1) }dz + i ∫[I]{ 1/(z^2+1) }dz
右辺の2個の積分は、実積分になっている。

右辺第1項の積分は、被積分関数が奇関数だから
∫[I]{ z/(z^2+1) }dz = ∫[-√3,+√3]{ z/(z^2+1) }dz = 0,

右辺第2項の積分は、被積分関数が偶関数だから
∫[I]{ 1/(z^2+1) }dz = 2∫[0,+√3]{ 1/(z^2+1) }dz
= 2{ (Arctan √3) - (Arctan 0) }
= 2{ π/3 - 0 }.
= (2/3)π.

以上から、
∫[γ]dz/(z-i) = 2πi - { 0 + i (2/3)π }
= (4/3)πi.
あれ？ これは派手に意見が違ったな。どちらが合ってる？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/02 14:11

１個目：

被積分関数の特異点 z=1,3 のうち
積分路が囲う領域に含まれるのは z=1 のみ。
z=1 での留数は、ローラン展開が
(z+2)/((z-3)(z-1)^2) = -(3/2)/(z - 1)^2 - (5/4)/(z - 1) + ...
であることより、 -5/4.
よって、閉路積分の値は (2πi)(-5/4) = ー5πi/2.

あれ？ 意見が一致しないね。
＞ 但し，積分記号下の |z−a|=r は，
＞ a を中心とする半径 r の円に正の向きがつけられた閉曲線とする。
の向きの解釈が違うのかな？