公共経済学(ミクロ経済)の問題です。 公共財Gと私的財の2財が存在し、2人の消費者A,Bが存在する。

公共経済学(ミクロ経済)の問題です。
公共財Gと私的財の2財が存在し、2人の消費者A,Bが存在する。
社会において、それぞれの効用関数は以下の通り指示される。
U_A=5xAG , U_B=3xBG

ただし、私的財の価格は1,公共財の価格は8で、両者が公共財を私的に供給すると想定する。

(1)Aの所得が360,Bの所得が600のとき、各個人の最適反応関数を求めよ。

(2)パレート最適となる公共財の供給量を求めよ。

質問者からの補足コメント

• (1)gA=-1/2gB+45/2
  gB=-1/2gA+75/2
  
  (2)G*=60 となります。
  
  解き方教えてください(_ _)

    補足日時：2023/02/05 14:16

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/02/06 15:06

Q1

Aの最大化問題は

max UA=5xAG
s.t.
xA+8gA=360

であり、Bの最大化問題は

max UB=3xBG
s.t.
xB+8gB=600
である。ただし、
gA+gB=G

よって、
Aの最大化の1階の条件は
UA＝5(360-8gA)(gA+gB)
をgAについて微分して０とおき
0=∂UA/∂qA=5(-8)(gA+gB)+5(360-8qA)
よって
0=-16gA-8qB+360
qA=(-1/2)gA+45/2
を得る。
Bについても同様。
UB＝3(600-8gB)(gA+gB)
をgBについて微分し、0とおき、整理すると
gB=8(-1/29gA+75/2
を得る(確かめよ）。

Q2については後ほど。まずこれを確かめられたい。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/02/06 15:24

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/02/06 15:21

Q2についてはパレート最適なGを求めるためには

max UA=3xAG
s.t.
UB=5xBG=一定
xA+xB+8G=360+600　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）　　　　　　
の最大化問題を解く。

最大化の1階の条件は
∂UA/∂G /∂UA/∂xA+ ∂UB/∂G/∂UB/∂xB = 8
xA/G + xB/G =8
よって
ｘA＋ｘB＝８G
一方制約式（＊）より
xA+xB+8G=636
よって
G＝60
と、あなたの補足コメントと等しいGを得る。

No.1 回答者： kokorororo 回答日時： 2023/02/05 14:28

Aの所得が360であり、公共財Gの価格が8であるので、Aの最適な消費量は以下の通り。

xAG = 360 / (8 + 1) = 40

同様に、Bの所得が600であり、公共財Gの価格が8であるので、Bの最適な消費量は以下の通り。

xBG = 600 / (8 + 1) = 66.67

これらの計算から、AとBの最適反応関数は以下の通り求まります:

A: xAG = 40
B: xBG = 66.67

(2)
公共財GをAとBが私的に供給すると想定するので、公共財Gの供給量を求めるためには、以下のように式を導出することができます。

gA + gB = xAG + xBG

この式にAとBの最適反応関数を代入すると以下の通り求まります。

gA + gB = 40 + 66.67 = 106.67

これがパレート最適となる公共財の供給量です。