扇形の面積で

A＝１/２ｒｌ＝０．００８７２７aｒ二乗という
公式がありますが、なぜそうなるのか
どうか教えて頂けないでしょうか？お願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2005/07/12 15:35

>>（扇形の円弧の半分ずつが上下に並びますので平行四辺形の向かい合った辺の長さが円弧の長さlの1/2になる。

）

>●これはなぜでしょうか？まだこれがよくわかりません。

紙で適当は扇形を作り、その扇形を扇の中心を通る折線で1/2,1/4,1/8...など同じ中心角の微小な扇形の折筋をつけ、折筋にそってはさみで切りわけてみてください。16等分位で良いかもしれません。半径を重ねるように交互に微小扇形を並べて（貼り付けて）いくと、上と下の細かな円弧を全部あわせた長さが、元の扇形の円弧の長さになることが分かりませんでしょうか？
上と下のぼこぼこの微小円弧の辺の長さの合計は上下の辺で全く同じになり、それぞれ、元の円弧の1/2いなるということです。

別解として、全円の面積を中心角の比で比例配分する方法もあります。
全円の面積S=πr^2
中心角の比=円弧（円周）の比=l:(2πr)
円周=2πr
A=Sxl/(2πr)=(1/2)rl

#2書いたように
>円弧の長さlは(半径)×(中心角[ラジアン])で中心角を度単位で a[°]とすれば a[°]=aπ/180[ラジアン]となります。
>つまり円弧の長さ　l=aπ/180---(2)
の関係を使えば、S=(π/360)ar^2≒0.008726646ar^2
も出てきますね。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2005/07/12 01:50

#2です。

ミスがありましたので訂正します。

>S=(π/360)ar≒0.008726646ar
は
S=(π/360)ar^2≒0.008726646ar^2
に訂正します。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2005/07/12 01:07

細かい扇形に分割し1つ置きに上下さかさまに入れ替えていくと、平行四辺形のような図形ができます。

平行四辺形の向かい合った2辺の長さは、扇形の半径rで、他の向かい合った（かまぼこを沢山な並べた様な）辺の長さは、扇形の円弧の長さlの1/2つまり(1/2)rlになりますね。
（扇形の円弧の半分ずつが上下に並びますので平行四辺形の向かい合った辺の長さが円弧の長さlの1/2になる。）

円弧の分割数を無限に細かくしていくと、平行四辺形は限りなく長方形になります。向かい合った一対の辺の長さがrで、他の向かい合った辺の長さが円弧の1/2の長さ(1/2)l になります。この長方形の面積が元の扇形の面積になることは明らかですね。
長方形の面積は
S=(1/2)lxr---(1)
です。
円弧の長さlは(半径)×(中心角[ラジアン])で中心角を度単位で a[°]とすれば a[°]=aπ/180[ラジアン]となります。
つまり円弧の長さ　l=aπ/180---(2)
(2)を(1)に代入すると
S=(π/360)ar≒0.008726646ar
となります。ここでπ=3.14159265...

この回答へのお礼

ありがとうございます。

細かい扇形に分割し1つ置きに上下さかさまに入れ替えていくと、平行四辺形のような図形ができます。平行四辺形の向かい合った2辺の長さは、扇形の半径rで、他の向かい合った（かまぼこを沢山な並べた様な）辺の長さは、扇形の円弧の長さlの1/2つまり(1/2)rlになりますね。


（扇形の円弧の半分ずつが上下に並びますので平行四辺形の向かい合った辺の長さが円弧の長さlの1/2になる。）

●これはなぜでしょうか？まだこれがよくわかりません。



円弧の分割数を無限に細かくしていくと、平行四辺形は限りなく長方形になります。向かい合った一対の辺の長さがrで、他の向かい合った辺の長さが円弧の1/2の長さ(1/2)l になります。この長方形の面積が元の扇形の面積になることは明らかですね。
長方形の面積は
S=(1/2)lxr---(1)
です。
円弧の長さlは(半径)×(中心角[ラジアン])で中心角を度単位で a[°]とすれば a[°]=aπ/180[ラジアン]となります。
つまり円弧の長さ　l=aπ/180---(2)
(2)を(1)に代入すると
S=(π/360)ar≒0.008726646ar
となります。ここでπ=3.14159265

お礼日時：2005/07/12 12:54

No.1 回答者： ko-ka 回答日時： 2005/07/12 00:46

スーパー三角形という解法を使うようです。

式の0.008727ar二乗は円の面積πr二乗にa/360°をかけたもの。
1/2rl がスーパー三角形という解法です。

詳しくは下記リンクより。

参考URL：http://web2.incl.ne.jp/yaoki/a_k15.htm