Xは非空の集合である。
次の定義によって与えられているd:X×X→Rは距離である。
d(x,y)=0 (x=yの時)
d(x,y)=1 (x≠yの時)
dをX上の離散距離とする。
このとき、dによって定まる距離位相Tは、X上の離散位相(T=P(X)パワーセット)であることを示せ。
疑問I
この問題で、まず、任意のXの部分集合Gがdのもとで開集合になっていることを示せばいいかなと思いました。
(1)G=φのとき
これは定義から、開集合です。
(2)G≠φのとき
Gの中に開球が作れればいいんですよね??
でも分かりません。
疑問II
(1)(2)が示せたら、dによって定まる距離位相Tは、X上の離散位相(T=P(X)パワーセット)をどのように導くか分かりません。
この2つの質問に誰か答えてください!!
No.1
- 回答日時:
次の(1)から(4)まで順次考えていけばよいような気がします。
(1)離散距離の定義より、Xの任意の点は開集合です。
(2)Gの開球はGの任意の部分集合です。
(3)Xの任意の部分集合は開集合です。
(4)X上に距離dによって定まる位相は、離散位相で す。
No.2
- 回答日時:
> d を X 上の離散距離とする。
はて、この表現は?
離散距離と呼ばれるものが既にあって(定義されていて)それと、この d が一致することを示すのですか?
# それはさておいて、
> 疑問I
> この問題で、まず、X の任意の部分集合 G が d のもとで開集合に
> なっていることを示せばいいかなと思いました。
それでOkです。
> G の中に開球が作れればいいんですよね??
おおまかには、それでOkです。正確には G の各点 x について x を中心とする適当な開球で G に含まれるものを作るです。
# xを中心とする半径2や半径0.4の開球はどんな集合でしょうか?
> 疑問II
開集合の任意個の和も開集合です。
この回答への補足
質問です!!
開球は何でも良いんですか??
例えば、
任意のxをGから取ってきて、
半径1、中心xの開球を作ると、{x}⊂Gとなり、よって開集合ですよね??
No.3
- 回答日時:
>任意の x を G から取ってきて、
>半径1、中心 x の開球を作ると、{x}⊂Gとなり、よって開集合ですよね?
問題ありません。ちょっと補足すれば
x ∈ { x } ⊂G
の方がよいのかな。(任意の) x は G の内点を示したい訳ですから。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
>nepiashinさん
何か勘違いされていませんか? 再記しますが、、、
nepiashinさんが示されたことがらは T⊃P(X) です。
#4では同じことがらですが P(X)⊂T と表記しました。
これ("T⊃P(X)")と T⊂P(X) から T=P(X) ではありませんか?
# なお、T⊂P(X) は T の要素は X の開集合なのですが"X の部分集合"でもあるのは自明です。とゆーか、Xの部分集合でないと "Xの" 開集合であるとか、~集合であるとかは意味を持ち得ません。
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