振動計測で速度、変位を求めたい

振動計測のプログラムを作っています。
理論がよくわかっていないので、わからないことだらけです。

今回教えてもらいたいのは、速度と変位の求め方です。
計測した加速度を積分して求めるのはわかったのですが、そこから先が分かりません。

１．積分対象は、次のうちのどれになりますか？
・加速度の実測値
・加速度の実測値をFFTして得られたスペクトル

２．積分とは、2×円周率×周波数で割ることみたいなのですが、
ここで言う周波数とは、サンプリング周波数のことでしょうか？
それともグラフ化したときのX軸となる周波数(f(1),f(2),...f(n))のことでしょうか？

３．積分した後に、FFTしてスペクトルを求める必要はあるでしょうか？

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： foobar 回答日時： 2007/04/01 08:06

時間領域での積分は#2さんが書かれているとおり

周波数領域で扱う場合、以下のようになります。
∫sin(2πft)dt=-(1/2πf)cos(2πft)
の関係を使って処理できます。

加速度をFFTした結果を
a(f1),a(f2),..a(fn)
とすると、
これを積分した速度の周波数成分は
振幅が
(1/2πf1)a(f1),(1/2πf2)a(f2),..,(1/2πfn)a(fn)
位相は
すべての周波数成分について90度(π/2)遅れ
になります。

速度から位置へ処理も同様にして計算でき、
(1/2πf1)^2*a(f1),(1/2πf2)^2*a(f2),..,(1/2πfn)^2*a(fn)
位相は加速度から180度(π)遅れ
になります。

No.5 回答者： semi-zzz 回答日時： 2007/04/03 11:56

＃４です。

時間がとれたので、質問１について補足します。

実測値（私は時刻歴波形と呼びます）を直接積分する方法は、いろいろな手法が考案されています。
最も基本的な方法は台形による積分です。
積分とは波形の面積を求める作業ですので、サンプリング間隔の間の変化が直線と仮定できれば、
時間iにおける振幅X(i)とすると、
iとi+1間の高さがサンプリング間隔時間Δt、上底がX(i),下底がX(i+1)の台形に近似できます。この台形の面積を計測開始点から合計していけば波形の積分になります。
このようなことをするのが時間軸上の積分です。
ただし、サンプリング間隔間が直線で補間できるという仮定に基づくものですので、誤差を含んでいることに注意しなければなりません。
なお、時間軸上で積分する方法は他にもいくつも考案されています。

一方ＦＦＴを用いた積分方法というのもあります。
ＦＦＴは繰り返しのある波形は正弦波の合成で表現できるというフーリエ理論により、複雑な波形を単純な正弦波の合成で表す手法です。
周波数の異なる正弦波から合成するということは、各周波数成分の大きさを求めることにもなりますので、周波数分析によく使用される方法です。

正弦波ａ×sin(wt+φ）を積分すると１／ｗという係数がかかってきます。
ｗとは円振動数を示し、ｗ＝２×π×周波数です。

つまりＦＦＴを用いた積分というのはフーリエ変換により正弦波に分解し、正弦波の積分を行って、それをフーリエ逆変換することにより、時間軸上に戻してやり積分波形を求める方法です。

フーリエ変換は切り取った波形がくりかえされることが前提になっています。しかし、通常の計測計測はそのようなことがないので、誤差を含んだ解析手法であることには注意しなければなりません。

どうしても数値積分をしたいのでしたら以下の書物に両方の手法が書かれ、fortranですが、ソースも載っていますので、参考にするとよいと思います。

「新・地震動のスペクトル解析入門」大崎順彦著、鹿島出版会
なお、現在新本で手にはいるのは上記の本ですが、新がつかない旧版のほうが説明が丁寧ですので、図書館や古本屋で見付けられたらその方がよいです。

No.4 回答者： semi-zzz 回答日時： 2007/04/02 12:14

１．積分対象は、次のうちのどれになりますか？

・加速度の実測値
・加速度の実測値をFFTして得られたスペクトル

両方の方法があります。
前者の場合、台形などによる積分方法があります。

ＦＦＴした場合は、時刻歴波形が必要ならば、フーリエ逆変換により時刻歴波形時間領域に戻してやる必要があります。
この方法は建築の分野では日本建築センターの免震評定などでは標準的な方法として使われています。

＞２．積分とは、2×円周率×周波数で割ることみたいなのですが、

これはＦＦＴを利用した際に行う方法ですね。それも速度を求める方法です。変位は更に同じ作業をもう１度してやる必要があります。

＞それともグラフ化したときのX軸となる周波数(f(1),f(2),...f(n))のことでしょうか？

こちらの周波数を用います。


３．積分した後に、FFTしてスペクトルを求める必要はあるでしょうか？

質問の意味が不明なので回答できません。
時刻歴が必要なだけなら不要です。


なお、ディジタル値の数値積分はノイズや信号のシフト、低周波成分などによりかなり精度が悪く、適当なフィルターをかけてやらなければ、発散することもあります。また、フィルターの設定によって結果が変わります。以上の点で精度の面で、あまりお勧めはしません。

アナログ回路で加速度を積分して変位・加速度を求める方法もあります。
リオンあたりの振動計ならそのような回路を持っているものもありますので、計測計画を見直した方がよいのではないでしょうか？

No.2 回答者： goofeegooo 回答日時： 2007/03/31 23:03

加速度を積分すると速度になり，速度を積分すると位置になります。

一番簡単な数値積分は被積分点列をa(kT)，サンプリング周期をT，積分された点列をv(kT)として，
v(0)=a(0)*T
v(T)=v(0)+a(T)*T
v(2T)=v(T)+a(2T)*T
‥‥‥
v(nT)=v((n-1)T)+a(nT)*T
で求めることが出来ます。

精度が欲しい場合は"数値積分"をキーワードに検索すればごろごろ出てくると思います。

No.1 回答者： foobar 回答日時： 2007/03/31 08:24

1.

積分するのは加速度実測値（時間領域）です。
ただし、2.の演算を考慮すると、FFTの結果（周波数領域の値）を処理するのが楽でしょう

2.
積分が、元の関数の1/2πfになるのは、単一周波数の正弦波のときだけです。
したがって、この方法で処理できるのは、元の信号がきれいな正弦波か、周波数分析した後の結果のいずれかです。
このときの周波数は、FFTの結果のf(n)です。

3.
加速度のFFTの結果を処理する場合、すでに周波数領域のデータになってます。再度FFTする必要はありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

結局、どういう計算式になるのでしょうか？
物分りが悪くてすいません。

お礼日時：2007/03/31 12:31