微分方程式が立てれません…。

タンク内に濃度３％の塩水が１トン入っている。
これに水を注入し同時に同量の塩水を排出する。

（ただし注入した水は直ちに塩水と混合し塩水の濃度はどの部分も均一とする。）

毎分１０ｋｇの水を注入するとき１時間後の塩水濃度を求めよ。

皆目見当がつきません、教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/07 23:55

　タンク内の塩水の量をＶ[kg]、塩水の流出量をｖ[kg/min]、t[min]後のタンク内の塩水濃度をρ[%]とすると、微小時間Δｔの間での塩水濃度の変化分は、排出される塩分をタンク内の塩水の量で割ったものに等しいので、

　　Δρ＝－ρｖΔｔ／Ｖ
となるから、これを微分方程式の形にすると、
　　ｄρ＝－ρｖ・ｄｔ／Ｖ
となります。

　あとは、これを初期条件：ｔ＝０[min]でρ＝3[%]で解けば、
　　ρ(ｔ)＝3×exp(-t/100)
と求められるので、1時間後の塩水濃度は、
　　ρ(60)=3*exp(-60/100)＝1.64 [%]
と得られます。

　ちなみに、この塩水濃度は、1時間になるまで水を注入せず、1時間になってから初めてタンク内が1トンになるように水を注入した場合の塩水濃度は、上記の濃度よりも小さくなっているはずです。
　このときの濃度を求めると、
　　3*(1000-10*60)/1000=1.2 [%]
と、上記の濃度を下回っているので、妥当な数字といえます。

この回答へのお礼

とてもよく分かりました、ありがとうございました！

お礼日時：2007/06/08 00:26

No.2 回答者： molly1978 回答日時： 2007/06/07 23:48

ある時点での塩分量変化を方程式でたてればよいのではないですか。

方程式を解いて、初期条件を与えれば答えは出ると思います。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/07 23:35

>皆目見当がつきません、教えてください。

微分方程式でないことは確実です。