近似値の求め方を教えて欲しいです

√2の近似値を求めるときに
x_n+1=x_n+○○と書き
n→∞とするとx_nがだんだん√2に近づいていく・・・
的なことを聞いたのですが
曖昧に覚えてしまい
○○の部分がよく分かりません
そこで○○の部分と具体的にどのように求めていけばいいのかを
教えてほしいのです
分かる方御教授お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/11 00:44

ニュートン法で求めるとき、

一般には、
Xn+1=xn-f(Xn)/f'(Xn)
で、
y=f(x)=x^2-a
とすると、
f(Xn)/f'(Xn)=(x^2-a)/2x=x/2-a/2x
xn-xn/2+a/2xn=(xn+a/xn)/2
となります。
√aにかぎっていえば、
ある候補ｘとそれとかけてaになる相手、a/x
との平均をつぎの候補にする
を繰り返せば、答えが求まります。
√２では
候補を１とすると　相手は2
平均は(１＋２）/2=1.5
1.5の相手は、1.33333
平均は、1.416666
1.41666の相手は1.41176
平均は、1.4142157
となります。

この回答へのお礼

丁寧に教えていただきありがとうございます
覚えていたのもこれだと思います

お礼日時：2007/11/11 10:59

No.3 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/11/11 17:25

x_(n+1)　＝　１／（x_n＋１）＋１

でもいいと思います。

初期値をx_1=１とすれば、連分数展開と同じ式が得られます。
が、別の初期値（正の）でも、収束するとは思います。

この回答へのお礼

たしかに収束しそうな感じです
ありがとうございました

お礼日時：2007/11/13 21:42

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/11/11 02:35

　恐らく質問者さんがお求めになられているものは、＃１さんの方法によるものだと思いますが、参考までに、連分数で近似値を求める方法をお伝えしたいと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86% …

　√２は連分数で表すと、次のようになります。
　　√２＝[1;2,2,2,2,...]
　これを連分数の途中までを１段階ずつ計算していきますと、次のようになり、次第に、1.41421に近づいていきます。
　１）　1+1/2= 1.5
　２）　1+1/(2+1/2)=1+2/5= 1.4
　３）　1+1/(2+1/(2+1/2))= 1+1/(2+2/5)= 1.41666...
　４）　1+1/(2+1/(2+1/(2+1/2)))= 1+1/(2+5/12)= 1.41379...

この回答へのお礼

覚えていたものとは違う、新しい方法を
教えていただきありがとうございました

お礼日時：2007/11/11 11:01