タンク内で昇温した場合の達温時間は？

ある食品Aをお湯で温め、どれくらいの時間まで目標の温度に達するか知りたいです。詳細は以下のとおりです。
１～７の条件下でお湯をタンクに入れて、タンク内の食品A(温度50℃、質量40kg)を温めます。そのとき、Aが85℃に達するまでの時間の算出方法を教えてください。
１．タンク容量は50L
２．タンク内は満水にする。
３．お湯はタンクの底から入れ、上から出す。
４．お湯の供給温度は85℃、流量は10L/min
５．タンクは重量490kg、比熱0.11とする。
６．Aの比熱、その他必要な条件は仮定してください。
７．お湯の放熱する熱量は食品Aとタンクに伝わるものとします。
なんとか5月7日までに教えてほしいです。
みなさま宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#59437 回答日時： 2008/05/04 15:02

熱源としてのタンクの温度変化は考えなくて良いでしょう。

食品に伝わった熱量を食品の熱容量で割ると伝わった熱量による
温度上昇分が求められます。
今、食品が所定の温度に達するまでの時間を求めようとしており、
そのためには熱の伝わる速さが分からねばならず、速さを求める
ためには、食品の表面積、食品とタンク内熱水の境界における
境膜を通しての伝熱係数、タンク内熱水と食品との温度差を知る
必要があります。

荒っぽい計算ですが、食品の温度が一様に温度上昇するものと
仮定して、先ず、式を求めます。
その後、一例として、数値を適当に代入して食品の温度変化の
様子を調べることにします。

境界面を通して伝わる熱流束は、 q(t)=(h・A)・{T_w-T_f(t)}
　h：総括熱伝達係数(Kcal/m^2/hr/℃)
　A：伝熱面積(m^2)
　T_w：タンク内の熱水温度(℃)
　T_f(t)：食品の温度(℃)

t～t+dt の時間の間に、食品の温度が、T_f(t)～T_f(t)+dT_f(t) に
上昇するとすると、 食品の質量を m(gr)、比熱を c(Kcal/gr/℃)として、
dT_f(t)={q(t)・dt}/(mc)

上の式を代入して、
dT_f(t)=[(h・A)・{T_w-T_f(t)}・dt]/c
{dT_f(t)/dt}+{(h・A)/(mc)}・T_f(t)={(h・A)/(mc)}・T_w

これを解くと
T_f(t)=T_f(0)・e^[-h・A/(mc)}・t]+T_w・（1-e^[-h・A/{(mc)・t}]）
t→∞ のとき、T_f(t)→T_w

式から分かることは、食品の温度は、時間の経過と共に限りなく
タンク内熱水の温度に近づくが（式の上では）、決してその温度に
達することはないということです。（実際には、その差が極めて小さく
なれば、同一と見なせますが）

数値を代入してみます。
食品の表面積は、食品が球体であるとして、密度を 1(gr/cm^3)
とした時の半径から求めることにします。
A=4π・{(40000/1)/(4π/3)}^(2/3)=5656(cm^2)=0.5656(m^2)

h、c は
h=20(Kcal/m^2/hr/℃)
c=1/1000(Kcal/gr/℃)　と仮定します。

タンク内熱水の温度、T_w=85(℃)
食品の初期温度、T_f(0)=50(℃)
食品の質量、m=40000(gr)

時間（hour）食品の温度（℃）
0 50
576.48909688
1082.93041509
1584.49674181
2084.87762338
2584.97024184
3084.99276375
3584.99824037
4084.99957211
4584.99989595
5084.9999747

お断りしておきますが、食品の温度が一様に上昇するという仮定を
しておりますのと、ここで用いる数値は、全く根拠を持たないもので
あり、従って、結果の妥当性については責任を負いかねますので
その積りでご覧下さい。
実験などで数値が確かめられれば、その数値を代入して、大体の
様子が分かるでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
わかりやすい説明で、素人の私にもよくわかりました。

お礼日時：2008/05/08 08:43

No.1 回答者： opechorse 回答日時： 2008/05/04 00:47

昔この手の計算をしたことがありますが

現状のデータだとヒーティングコイルの性能
タンクからの放熱が分からないから無理です

仮にタンクからの放熱が分かったとしても
ある程度の精度を出す計算をするなら
10万単位の費用が掛かります
(図面しだいです)

あと、熱水温度85度で85度まで加熱できません
物体の加熱は温度差で移動する熱量が決まりますので
熱水と同じ温度にしようとするとおおむね無限大時間掛かります
(よほど保温性能がよければ可能ですが)