単原子分子の分散関係

単原子分子の分散関係の式を教えてください。

２原子分子において質量と力定数を等しくすると単原子分子の分散関係にひとしくなることを証明せよという問題があるのですが、どうしても
K＝０の時の音響モードと光学モードの値が違ってしまいます。

No.1 ベストアンサー 回答者： 101325 回答日時： 2009/06/26 18:00

一次元格子振動の分散関係に関する話でしょうか。

２原子格子において質量と力定数を等しくすると、それに対応する単原子格子の格子定数a'は、２原子格子の格子定数aの1/2倍になります：a'=a/2

２原子格子の０≦K≦π/aの音響モードの分散関係は、単原子格子の０≦K≦π/(2a')の音響モードの分散関係に等しくなります。それに対して２原子格子の０≦K≦π/aの光学モードの分散関係は、単原子格子のπ/a'≧K≧π/(2a')の音響モードの分散関係に等しくなります。

２原子格子のK＝０の時の光学モードの振動数は、単原子格子のK＝π/a'の時の音響モードの振動数に等しくなりますから、K＝０の時の音響モードの振動数とは一致しません。音響モードと光学モードの値が同じになるのは、K＝π/a＝π/(2a')の時だけです。