f(x) が |f(x)|≦ｘ^2（xの二乗）であるとき f′(0)

f(x) が |f(x)|≦ｘ^2（xの二乗）であるとき f′(0) について考察せよ。 という問題がわかりません。 だれか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2010/04/25 10:23

まず、

　　|f(x)| ≦ x^2
　　-x^2　≦ f(x) ≦ x^2
より、
　　f(0) = 0
です。

ここから平均値の定理を用います。
平均値の定理とは、
f(x)を区間[a,b]で連続で微分可能な関数とすると、a<c<bなるcが存在して
　　(f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c)
が成り立つ。
ってやつですね。

区間[0,x]で考え、a=0,b=xを当てはめると
　　(f(x)-f(0))/(x-0) = f'(c)
　　f(x)/x = f'(c)
　　(-x^2)/x ≦ f(x)/x = f'(c) ≦ (x^2)/x
　　-x ≦ f'(c) ≦ x
ここでx→0の極限を考えるとc→0となり、はさみうちの定理より
　　f'(0) = 0


補足、
上に書いたのは[0,x]を考えているのでx>0の場合です。
つまり右極限lim[c→+0]{f'(c)}しか考えていないので、区間[x,0]で考えた場合も同様に証明しといた方がいいかもしれません。
また、平均値の定理を使うためf(x)を[0,x]で微分可能と仮定しています。そもそもこの仮定が成り立つかどうか、成り立たない場合にはどうか、別に考える必要があります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。平均値の定理が思いつきませんでした…。参考にさせて頂きます。

お礼日時：2010/04/25 10:37

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/04/25 10:04

「考察」という日本語の意味はわかりますか？