次の図において、四角形AEFBの面積は四角形BGHCの面積の何倍になる

次の図において、四角形AEFBの面積は四角形BGHCの面積の何倍になるか。なお、AB=BC=CD=DO、EF=FG=GH=HI=IOである。

上記問題は比を使って解くと思うのですが、比が苦手で解き方が思いつきません。
答えは1.6倍です。
どなたか解き方を教えてもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： tomokoich 回答日時： 2010/09/03 09:22

辺ＥＯの長さをＹ、辺ＡＯの長さをＸとして

まず四角形ＢＧＨＣは三角形ＢＧＯ－三角形ＣＨＯだから
BGOの面積 3/4X×3/5Y÷2=9/40XY
CHOの面積 2/4X×2/5Y÷2=1/10XY
従って四角形BGHC 9/40XY-1/10XY=1/8XY

同じようにして四角形ＡＥＦＢは三角形ＡＥＯ－三角形ＢＦＯだから
AEOの面積　X×Y÷1/2=1/2XY
BFOの面積　3/4X×4/5Y÷1/2=3/10XY
従って四角形AEFB 1/2XY-3/10XY=1/5XY

AEFB÷BGHC=1/5XY÷1/8XY=1/5×8=1.6

よって１．６倍となります。
(比の問題だから高さはこのようにして解いてもいいと思います）

No.6 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/09/03 15:28

面積比は相似比の２乗に比例するから、

△ODIの面積を1とすると、

□BGHC
=3^2-2^2=5

□AEFB=△AEF+△AFB
=(1/2)(5^2-4^2)+(1/2)(4^2-3^2)
=9/2+7/2
=8

□AEFB:□BGHC=8:5
□AEFB=□BGHC×8/5
よって、
□AEFBは□BGHC8の8/5倍

No.5 回答者： nattocurry 回答日時： 2010/09/03 14:27

□AEFB＝△AEO－△BFO

□BGHC＝△BGO－△CHO

ここで、△DIOの面積を基準に考えてみましょう。

△AEOは、△DIOに対して、底辺が5倍、高さが4倍なので、面積は20倍。
△BFOは、△DIOに対して、底辺が4倍、高さが3倍なので、面積は12倍。
□AEFBは、△AEO－△BFOなので、面積は△DIOの8倍。

△BGOは、△DIOに対して、底辺が3倍、高さが3倍なので、面積は9倍。
△CHOは、△DIOに対して、底辺が2倍、高さが2倍なので、面積は4倍。
□BGHCは、△BGO－△CHOなので、面積は△DIOの5倍。

□AEFBと□BGHCの面積比は、8：5。

□AEFBは□BGHCの8/5＝1.6倍

No.4 回答者： tomokoich 回答日時： 2010/09/03 12:12

NO2の者です。

四角形ＡＥＦＢの方で÷1/2となっているところ二箇所は÷2の間違えです。
すみません・・・。

No.2 回答者： yespanyong 回答日時： 2010/09/03 09:06

No.1です。

一点訂正。

＞OAFはODIと相似で面積はODIの169倍になるので、OAEの面積はODIの20倍。

↓

OAFはODIと相似で面積はODIの16倍になるので、OAEの面積はODIの20倍。

No.1 回答者： yespanyong 回答日時： 2010/09/03 09:00

三角形OBG、OCH、ODIは相似。

面積はOCHがODIの4倍、OBGはODIの9倍。
なので、BGHCの面積はODIの5倍。

一方、三角形OBGとOBFを比較すると、底辺OGとOFの長さ比が3:4で高さは共通なので面積比も3:4。
OBGの面積がODIの9倍なので、OBFの面積はODIの12倍。
同様に三角形OAFとOAEを比較すると、底辺OFとOEの長さ比が4:5で高さは共通なので面積比も4:5。
OAFはODIと相似で面積はODIの169倍になるので、OAEの面積はODIの20倍。
したがって、OAEの面積からOBFの面積を引いて、AEFBの面積はODIの8倍。

以上より、AEFB/BGHC＝8/5＝1.6