曲線y=e^xと原点からこの曲線に引いた接線

曲線y=e^xと原点からこの曲線に引いた接線、直線x=-a(a＞0)およびx軸で囲まれた部分の面積sを求めよ。

まったくわかりません・・・。

グラフも書いてくれると助かります。

No.4 回答者： mososo 回答日時： 2010/11/27 16:24

添付

No.3 回答者： mososo 回答日時： 2010/11/26 16:57

赤い部分が面積ｓです。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/22 23:38

原点を通る接線lの接点をP(b,e^b)とおくと

この接線lは y=(e^b)x …(1)
と書ける。(1)は(b,e^b)を通ので

e^b=(e^b)b ∴k=1

　∴接点P(1,e)、接線l：y= ex

求める領域の面積Sは
S=∫[-a,0] e^x dx +∫[0,1] (e^x - ex)dx
= 1-e^(-a) +(e-1) -(e/2)
= (e/2)-e^(-a)

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/11/22 23:11

ｄｙ／ｄｘ＝ｅ＾ｘ　なので、点（ｐ、ｅ＾ｐ）における接線の傾きはｅ＾ｐです。

これが原点を通るので　接線の式はｙ＝ｘ・ｅ＾ｐ　です。この式に（ｐ、ｅ＾ｐ）を代入すると　ｅ＾ｐ＝ｐ・ｅ＾ｐ　よりｐ＝１　となり、接点は（１，ｅ）であることが判ります。

従って、求める面積は
（１）－ａ＜ｘ＜０の領域
　　ｙ＝ｅ＾ｘ　とｘ軸の間の面積
（２）０＜＝ｘ＜＝１の領域
　　ｙ＝ｅ＾ｘとｙ＝ｘの間の面積

前者は∫ｅ＾ｘ　ｄｘ　（積分範囲は－ａから０）
後者は∫（ｅ＾ｘ－ｘ）　ｄｘ　（積分範囲は０から１）

です。図を書いて考えてみて下さい。