代数学の基本定理

代数学の基本定理って何ですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/03/23 13:33

解の個数を話に持ち込むと、

重根の扱いが微妙になります。

通常は「複素係数の代数方程式は、複素数の範囲に
(少なくともひとつの)解を持つ」
ことを、代数学の基本定理と呼びます。
代数方程式とは、多項式＝０ という形の方程式
のことです。

同じことを「複素数体は、代数的閉体である。」
と言ったりもします。

これと、因数定理とを組み合わせると、
よくある「ｎ次方程式には解がｎ個」という形
になります。「解の重複も込めてｎ個」ですね。

この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます

お礼日時：2011/03/23 16:12

No.1 回答者： BookerL 回答日時： 2011/03/23 08:38

　２次方程式は、実数の範囲では解があったりなかったりしますが、複素数の範囲まで広げれば、必ず解が２つになります。

（重解は２つの解が重なっているので、２つと数える）

　これを一般化して、ｎ次方程式は解をいくつ持つだろうかという問題を考えるとき、ｎ個の解が複素数の範囲で存在するだろうか、それとも２次方程式で実数だけでは必ず２つの解があるとは言えず、複素数まで範囲を広げたように、複素数より広い範囲の数を考えなくてはならないか、というようなことになるわけですが、結論としては

「複素数を係数とするｎ次方程式は複素数の範囲でｎ個の解を持つ」

ということが言えます。これを「代数学の基本定理」といいます。

　証明はガウスが行なったのですが、その中身は難しくて私にはわかりません。

この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2011/03/23 10:06