No.2ベストアンサー
- 回答日時:
a,b,cをそれぞれベクトルとしたとき
{a,b},{b,c},{c,a}がそれぞれ互いに一次独立であっても
{a,b,c}が互いに一次独立であるとは限らない
例えば{a,b}を互いに一次独立であるとすると
{a,b},{b,a+b},{a+b,a}はそれぞれ互いに一次独立であるが
{a,b,a+b}は互いに一次独立でない
Aを複素数を要素とする正方行列としEをAと同じ次数の単位行列とし
s[1],・・・,s[n]をそれぞれAの互いに異なる固有値とし
v[1],・・・,v[n]をそれぞれ固有値s[1],・・・,s[n]に対するAの固有ベクトルとし
c[1],・・・,c[n]をそれぞれ複素数とする
Σ[k:1,・・・,n]c[k]・v[k]=0として
この式の両辺に左からΠ[k:2,・・・,n](A-s[k]・E)をかけると
c[1]・Π[k:2,・・・,n](s[1]-s[k])・v[1]=0
Π[k:2,・・・,n](s[1]-s[k])≠0かつv[1]≠0だからc[1]=0
同様にしてc[1]=・・・=c[n]=0
よって{v[1],・・・,v[n]}は互いに一次独立である
No.1
- 回答日時:
具体的な行列の固有値や固有ベクトルと、質問の証明は関係ないですね。
固有ベクトルを未定係数で線型結合したものに、行列を掛けて御覧なさい。
ベクトル x1, x2 が線型独立とは、スカラー c1, c2 が
(c1)x1 + (c2)x2 = 0 ならば c1 = c2 = 0 であること。
x1, x2 が行列 A の固有ベクトルで、
対応する固有値が k1, k2 (k1≠k2)であれば、
(c1)x1 + (c2)x2 = 0 ←[1] の両辺に左から A を掛けて
(c1)(k1)x1 + (c2)(k2)x2 = 0 ←[2] となる。
[1] の両辺を k2 倍したものを [2] から引けば、
(c1)(k1 - k2)x1 = 0。
x1 は零ベクトルではなく、k1≠k2 だから、c1 = 0 と判る。
c2 = 0 も、同様に示せる。
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