数学 内心 重心 を利用する問題

この問題を参考書等見ながらかれこれ三十分ほど考えていますがまったくわかりません。

(1)△ABCの内心Iから３辺BC,CA,ABに垂線ID,IE,IFをひく。AB=9,BC=8,CA=7とするとき、AF,BD,CEの長さを求めよ。

(2)平行四辺形ABCDの辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれE,F,G,Hとし,線分BHとDEの交点をP,線分BGとDFの交点をQとする。平行四辺形ABCDの面積を24とするとき、平行四辺形PBQDの面積を求めよ。

インターネットでも調べましたが同じような問題は質問されていないようでした。
よろしくお願いします。
(2)の画像を添付させていただきました

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/08/27 03:26

＞(1)△ABCの内心Iから３辺BC,CA,ABに垂線ID,IE,IFをひく。

AB=9,BC=8,CA=7とするとき、
＞AF,BD,CEの長さを求めよ。
内心の性質より、ＡＦ＝ＡＥ＝ｘ，ＢＤ＝ＢＦ＝ｙ，ＣＥ＝ＣＤ＝ｚとおくと、
ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦより、ｘ＋ｙ＝９
ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＣより、ｙ＋ｚ＝８
ＣＡ＝ＣＥ＋ＡＥより、ｚ＋ｘ＝７
連立方程式で解くと、ｘ＝４，ｙ＝５，ｚ＝３
よって、ＡＦ＝４，ＢＤ＝５，ＣＥ＝３

＞(2)平行四辺形ABCDの辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれE,F,G,Hとし,線分BHとDEの交点をP,
＞線分BGとDFの交点をQとする。平行四辺形ABCDの面積を24とするとき、
＞平行四辺形PBQDの面積を求めよ。
対角線ＢＤをひく。
△ＤＢＣで、ＧはＤＣの，ＦはＢＣの中点だから、Ｑは重心
よって、ＤＱ：ＱＦ＝２；１
同じく、△ＢＤＡで、ＥはＢＡの，ＨはＡＤの中点だから、Ｐは重心
よって、ＢＰ：ＰＨ＝２：１
△ＤＢＣ＝(1/2)平行四辺形ABCD＝(1/2)×２４＝１２
△ＤＢＦ＝(1/2)△ＤＢＣ＝(1/2)×１２＝６
△ＤＢＱで、Ｂを頂点と見ると、△ＤＢＱ：△ＤＢＦ＝ＤＱ：ＤＦ＝２：３より、
△ＤＢＱ＝(2/3)△ＤＢＦ＝(2/3)×６＝４
△ＢＤＡ＝(1/2)平行四辺形ABCD＝１２より、同様にして
△ＢＤＨ＝(1/2)△ＢＤＡ＝６
△ＢＤＰ：△ＢＤＨ＝ＢＰ：ＢＨ＝２：３より、△ＢＤＰ＝(2/3)△ＢＤＨ＝４
よって、
平行四辺形PBQD＝△ＤＢＱ＋△ＢＤＰ＝４＋４＝８

図を描いて確認して下さい。

この回答へのお礼

わかりやすい解法ありがとうございました。お礼が遅れました。又機会があったらよろしくお願いします。

お礼日時：2012/08/31 01:37

No.1 回答者： suko22 回答日時： 2012/08/27 02:42

(1)まずは図をしっかり描いてください。

　AF=AE（△AIF≡△AIEより←合同は直角三角形の合同条件で証明できます。教科書を確認して下さい）
　BF=BD（上と同じ理屈）
　CD=CE（上と同じ理屈）

AF=xとおくと、
　BF=9-x,BD=9-x,CD=8-(9-x)=x-1,CE=x-1,AE=7-(x-1)=8-x
いまAF=AEよりx=8-x
　これを解くとx=4
　よってAF=4,BD=9-4=5,CE=4-1=3・・・答え

(2)点Bと点Dを結んでください。
　△ABDに注目
　点Dと線分ABの中点Eを結び、点Bと線分ADの中点Hを結んだ交点Pは△ABDの重心となる（定義を確認し　てください。）
　三角形の重心Pはその性質よりDP:PE=2:1に内分する。（重心の性質を教科書で確認してください）
　
　ここから面積の話。
　△DAB=24/2=12
　△DBE=12/2=6（高さが同じで底辺の比がAE:EB=1:1だから）
　△BDP=△DBE*2/3=6*2/3=4（高さが同じで底辺の比DP:PE=2:1だから）

　上記と同じように考えて△BDQ=4
　よって平行四辺形ABCD=△BDP+△BDQ=4+4=8

三角形の重心の性質と三角形の面積の比をしっかり確認してください。

この回答へのお礼

わかりやすい解法ありがとうございました。お礼が遅れました。又機会があったらよろしくお願いします。

お礼日時：2012/08/31 01:37