確率

問題
2人でこんなゲームをします。
表に「１」「２」「３」の数字が書かれ、裏には何も書かれていないカードが2枚ずつあります。
そのカードを裏返しに置き、2枚をめくって同じ数字であればめくった人の勝ちとし、
そうでなければ同じ場所にまた裏返して戻し、もう一人の人が同じ事を行います。
一度見たカードの位置は忘れないものとして、各プレイヤーは最善のめくり方をするものとします。

（1）「1」、「2」のカードをそれぞれ2枚用いてこのゲームをして、先手が勝つ確率を求めてください。
（2）「1」、「2」のカードをそれぞれ2枚用いてこのゲームをして、後手が勝つ確率を求めてください。
（3）「1」,「2」,「3」のカードをそれぞれ2枚用いてこのゲームをして、後手が1回目に勝つ確率を求めてください。

という問題なのですが、どのようにして確率を求めればいいかちっともわかりません。
とりあえず私が考えたのは、（１）、（２）は先にやっても後にやっても確率がかわらないはずなので、どちらも1/2かなと考えました。
この考え方であっていますでしょうか？
また、（３）はどのように考えればよろしいのでしょうか？

みなさんアドバイスのほうよろしくお願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： liar_adan 回答日時： 2004/04/22 17:44

なんだかみんなと答が違うので(汗)だけど…。

(1)の場合、情報がないので、めくるのはランダムになります。
1枚引きます。1か2ですが、これを「A」とします。
残りの3枚はA B Bとなっているはずです。
この中からAを引かなければならないのだから、確率は1/3。

(2)では、すでに先手が負けているわけです。
ということは先手が引いたのは違う数のカードです。
A Bを引きました。
場には、すでに開いた2枚A Bと開かれていない2枚A Bがあります。
このとき、開かれていない方から1枚引くと、
当然ながらA Bのどちらかです。
すると、開いたカードから、同じものを選び出すことができます。
結局、先手が失敗したら、後手は次のラウンドで必ず勝てます。
だから2/3。

(3)先手が勝つ確率は、最初にめくったのをAとすると、残りの
A B B C C
のうちからAを引かなくてはなりません。
だから勝つ確率は1/5。
逆に言うと先手が負ける確率が4/5です。

先手が負けたとします。
場には、めくったA Bと、
めくっていないA B C Cがあるはずです。
後手はめくっていない4枚の中から引きます。
これがAかBだったらそれでよし。勝つことができます。
この場合の確率は4/5×2/4＝2/5になります。

ややこしいのが、
2/4の確率で、Cを引いたときです。
この場合、まだめくっていない所から探します。
まだめくっていないのがA B Cと残っているので、
確率は1/3となります。
確率をぜんぶかけると
4/5×2/4×1/3＝2/15

後手は、AかB(先手が引いた数)を引いて勝つのと、
C(先手が引いていない数)を引いて勝つ場合があります。
それらを足すと、
2/5 + 2/15 ＝ 8/15
となります。

この回答へのお礼

大変よくわかりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2004/04/25 13:30

No.11 回答者： daibutsuda 回答日時： 2004/04/23 08:49

＃２です。

自信ありとしておきながら全問間違えていました・・・。(汗)
１）２）は先手が１／３、後手が２／３でしたね。
１・１’・２・２’の４枚から２枚を取り出す組み合わせは６通りで、そのうち２通りが先手の勝つ場合ですからね。

３）は途中まではあっていたのですが、最後で間違えていました。ほかの人の回答と同じなのですが、先手がめくっていないものをめくった場合に、正解する確率は確かに１／３ですが、先手がめくっていないものをめくる確率が１／２ですからこれをかけないとダメでした。
よって

（４／５）＊（１／２＋１／３＊１／２）＝８／１５

が正解ですね・・・。
ごめんなさい。

この回答へのお礼

わざわざ、回答しなおしてくださりもことにありがとうございます。

お礼日時：2004/04/25 13:26

No.10 回答者： liar_adan 回答日時： 2004/04/22 21:45

#8さんの書き込みを見て気付きましたが、

めくったところが相手に見えるかどうかで、問題が大きく変わってきます。
私は神経衰弱のように考えたのですが、
どちらの解釈をすればいいのか補足してください。

めくった結果が、相手に見えないのであれば、

(1)(2)
第1回目の先攻で、先手が勝つ確率は1/3
後攻で、後手が勝つためには、
「先手がめくったものから1枚と、めくっていないものから1枚」めくります。
これで確率は1/2となります。だから2/3×1/2で1/3
第2回先攻になると、先手は確実に勝てます。
(1)が2/3、(2)が1/3になります。

(3)先手が1回先攻で勝つ確率は1/5。
後手の戦略としては、ここでもやはり
めくった方から1枚、めくっていない方から1枚選ぶのが有利です。
これで1/4の確率になります。
(めくっていない4枚のうちから2枚めくった場合は1/6)
よって、
4/5×1/4＝1/5。
結局、この条件だと＃１さんの答となります。

この回答への補足

説明不足で申し訳ございません。
めくったものを相手に見えます。

補足日時：2004/04/25 13:26

No.9 回答者： ymmasayan 回答日時： 2004/04/22 18:05

No.3です。

（３）でミスしました。
　　　後手の１枚目が先手の引いたのと違う場合のケースが考えぬけていました。すみません。

No.8 回答者： michito_193 回答日時： 2004/04/22 18:02

＃１です。

説明不足でしたので補足します。

（１）（２）はゲームに勝つ確立ですね。
先手が１回目に勝つ確立は１/３です。
後手が１回目に勝つ確率は２/３の１/２なので１/３
最善のめくり方をすると先手が２回目に勝つ確立は１００％です。
先手１回目と２回目に勝つ確立を合わせると１/３＋１/３で２/３ではないでしょうか？

カードは裏返して戻しますのでめくった人にしかわかりませんし、相手は勝か負けしか分かりませんよね。

この回答への補足

説明不足でもうしわけございません。
この場合は、先手のめくったカードは後手に見えるという条件です。

補足日時：2004/04/25 13:29

No.6 回答者： TK0318 回答日時： 2004/04/22 17:40

＃４です。

問題読み違えて全部取り除いたほうを勝ちとしてしまいました。

３は訂正して
先手が初めに１組取ってしまう確率はカードを１、１’、２、２’、３、３’と考えると２枚取る組み合わせは１５通りで当たりは３通りですので１／５。よって後手に順番が回ってくるのは４／５。

後手は残り４枚のうちから引きます。この時２通りありえます。

ａ）先手が引いた数字と同じのが出た
ｂ）違うのが出た
これは同じ確率で発生します。
ａ）なら即終了です。
ｂ）なら残り３枚のうちからあたりの１枚を引けばＯＫです。

よって
４／５×１／２＋４／５×１／２×１／３＝８／１５

No.5 回答者： kyan73 回答日時： 2004/04/22 17:36

１回目で先手の勝つ確立は。

。。

１回目）１　２回目）１’
１回目）１　２回目）２
１回目）１　２回目）２’
１回目）１’２回目）１
１回目）１’２回目）２
１回目）１’２回目）２’
１回目）２　２回目）１
１回目）２　２回目）１’
１回目）２　２回目）２’
１回目）２’２回目）１
１回目）２’２回目）１’
１回目）２’２回目）２

の１２通りではないのでしょうか？
その内勝ちが４通りになるので　　4/12＝1/3になるのでは？

後手の確立に関しては先手がはずした場合１００％勝てるので先手がはずす確率の2/3になるのではないかと思います。

あくまでこれは単純な確率なので自信はありません

３は。。。家に帰ってじっくり計算してみますペコリ(o_ _)ｏ))

No.4 回答者： TK0318 回答日時： 2004/04/22 17:32

１は１／３、２は２／３です。

カードを１、１’、２、２’と考えると２枚引く組み合わせは６通りです。このうち２通りは一致しますので先手の勝ち、それ以外は後手の順番になりますが後手はまだ開いていないカードを開けると絶対取れますので後手必勝です。

３は後手に回ってくるには以下の２通りがありえます。
１）先手が１組とって後手に回る
２）先手が１組も取れずに後手に回る

１や２と同様にカードを１、１’、２、２’、３、３’と考えると２枚取る組み合わせは１５通りで当たりは３通りです。

１）先手が１組だけ取れる確率は１／５×２／３（設問１より）＝２／１５
この場合後手は１００％取れますので（設問２より）この場合の確率は２／１５
２）先手が１組も取れないのは４／５、この場合後手は残り４枚のうちから引きます。この時さらに２通りありえます。

ａ）先手が引いた数字と同じのが出た
ｂ）違うのが出た
両方とも起こる確率は１／２です。ａ）の場合同じ数字は取り除くことが出来ますので残りは不明３枚、既知１枚となります。残り３枚から１枚引いて
Ａ）知っているカードが出た→全部取り除けます
Ｂ）知らないカードだった
Ｂの場合残り２枚で半々勝負となります。
一方ｂ）の場合は不明３枚のうちから１枚選べば全部取れます。

まとめると
１）・・・２／１５
２）－ａ）－Ａ）・・・４／５×１／２×１／３＝２／１５
２）－ａ）－Ｂ）・・・４／５×１／２×２／３×１／２＝２／１５
２）－ｂ）・・・４／５×１／２×１／３＝２／１５

全部足して８／１５。

この回答へのお礼

非常にわかりやすい解説をありがとうございます。
よく理解することができました。

お礼日時：2004/04/25 13:28

No.3 回答者： ymmasayan 回答日時： 2004/04/22 17:25

(１)先手のカードのめくり方は４Ｃ２＝６通り

　　勝つのは２通り
　　よって確率は１／３
(２)後手は先手が勝たないと必ず勝てる。従って２／３
(３)先手のカードのめくり方は６Ｃ２＝１５通り
　　先手が勝つのは３通り
　　よって先手の勝つ確率は１／５

　　後手は先手の引かなかったカードを１枚引く。
　　先手のカードと合う確率は４枚中２枚で１／２
　　ここで後手の勝つ確率は結局４／５×１／２＝２／５

No.2 回答者： daibutsuda 回答日時： 2004/04/22 17:14

「後手は賢い（先手が失敗したとき、先手がめくったものは１回目にはめくらない）」という条件が必要になりますが、

（１）（２）は予想通り１／２です。

先手は適当にめくるしかありません。
したがって出る数字の組み合わせは

Ａ：１回目）１　２回目）１
Ｂ：１回目）１　２回目）２
Ｃ：１回目）２　２回目）１
Ｄ：１回目）２　２回目）２

の４通りとなります。
このうち、ＡとＤが勝ちですので、２／４＝１／２です。
後手が「賢ければ」、先手のめくったものはめくりません。そこで、めくられていない３枚目のカードをめくります。これは必ず先手のめくったどちらかと同じ数字ですから、それをめくれば勝ちです。
つまり、先手の負け＝後手の勝ちですから、これも１／２です。

３）は、それぞれの数字が２枚ずつ入っているわけですが、同じ１でも１Ａと１Ｂという風に分けて考えると６枚中２枚を選ぶことになります。
この組み合わせは１Ａ／１Ｂ・１Ａ／２Ａ・１Ａ／２Ｂ・・・と数えて言ったらわかりますが、１５通りあります。この中で数字がそろっている組み合わせは３通りなので、３／１５＝１／５で先手が勝ちます。
したがってごてに回ってくる確率は４／５です。

ここでも後手が「賢い」と仮定すると、後手は先手のめくった２枚はめくらず、残りの４枚から１枚選ぶはずです。
これが先手のめくった数字と一致するケースは、１／２です。この時点でごての勝ちは確定します。なぜ１／２かというと、たとえば先手が１・２とめくった場合、残っているカードは１・２・３・３です。このうち１・２を引く確率は２／４＝１／２だからです。
さらに、後手が先手と違うものを引いても、まだ正気はあります。上記の例では、３を自力で引けば勝ちです。この確率は１／３です。
したがって、

（４／５）＊（１／２＋１／３）
＝２／３

が後手が１手目で勝つ確率となります。