行列の要素が複素数の場合の固有値・固有ベクトル

行列A = | 1 i |
| -i 3 |
の時の固有値、固有ベクトル（ただし、大きさが１であるもの）を求め、Ａを対角化せよ

という問題なのですが、固有値が

λ＝２−√２、２＋√２

ここまでは求められたのですが、固有ベクトルを求める際に
上手くいかず困っています。
教えていただけないでしょうか？
見づらくてすみません・・・

質問者からの補足コメント

• 

  具体的には、
  固有値それぞれに対して
  固有ベクトル求めると
  u1 = (x,y) = (1,i/(√2+1)) , u2 = (1,i/(1-√2))
  となると思うのですが、これを正規化する際に
  √の中に√が入ってしまうような式になってしまい、
  答えを求めることが出来ずに困っているような状況です。
  説明不足で済みません。

    補足日時：2017/01/17 02:14

No.2 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/01/17 03:15

はい, 分かりました.

固有値 λ_1 = 2 - √2 に対する固有ベクトルが u_1 で,
固有値 λ_2 = 2 + √2 に対する固有ベクトルが u_2 ですね.
どちらも, 正しく求められています.
正規化する際に二重根号が現れたのは, むしろ正しく計算できている証拠なので, 心配する必要はありません.
その二重根号, 具体的には √(4 - 2√2) だと思いますが, はずすのは不可能です.
ですから, そのままの形で計算を続けてください.
エルミート行列を, 適当なユニタリ行列で対角化する, 典型的な問題です.
根号と虚数単位の i は, このパターンの問題では常連ですが, 二重根号まで登場して, 計算は楽とはいえません.
私は最後まで計算してみましたが, ものすごく疲れました.
それでも, 結局は無事に対角化できましたので, どうかご安心を.

新たな疑問が生じたら, 遠慮なく追加質問してください.
なるべく丁寧にお答えします.

この回答へのお礼

とても丁寧に回答していただきありがとうございました！

お礼日時：2017/01/17 22:48

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/01/17 04:26

失礼しました.

質問者様の u_1 と u_2 だと,
(u_1, u_1) = 4 - 2√2 ≠ (u_2, u_2) = 4 + 2√2 なので, 続きの計算が面倒になりますね.
私は u_2 = t[(√2 - 1)i, 1] を採用したのですが, このほうが計算しやすいと思います.

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/01/16 21:33

固有値は, 正しく求められています.

それで, 固有ベクトルを求める際に, どのように困っているのでしょうか.
まず, 普通に（つまり, 大きさは気にしないで）固有ベクトルを求めて, それを正規化するだけなのですが...