[物理]ロケットの噴射の問題について 以下の問題があっているのか不安なので、ご教示いただきたいです。

[物理]ロケットの噴射の問題について
以下の問題があっているのか不安なので、ご教示いただきたいです。

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ロケットが宇宙空間を推進する場合のロケットの速度変化を考える。
ロケットの進行方向後方に単位時間当たり質量μの推進剤を相対速度が一定の条件で放出するとし、放出された推進剤とロケットの相対速度の大きさをvpとする。ロケット本体の質量をMとし、時間tにおいてロケットに搭載している推進剤の質量をm、ロケットの速度をvとする。ただしロケットには外力は作用していない。
時刻t+dtにおけるロケットの速度はv+dvとなった。
tとt+dtにおけるロケットの運動量保存を考え微分方程式を立てよ。また、t=0において、m=m0、v=v0としたときの速度vを求めよ。
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運動量保存の式は
(M+m)v=(M+m-μdt)(v+dv)+μdt(v-vp)
と立て、
dv/dt=μvp/(M+m)
となりました。
これを解いて
v=μvp/(M+m) *t+v0
としました。
しかし、運動量保存の式が違う気がします…。
教えていただけると幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/11 17:26

こういった場合には、ごく「小さい」部分を取り出して、そこで成り立つ方程式を作ります。

ここでは、時々刻々推進剤の量やら速度が変化していますから、「時間」の微小範囲 t ～ t+dt を考えるのがよさそうです。

時刻 t のときの
　・ロケット本体の質量： M
　・推進剤の質量： m
　・速度： v
時刻 t+dt のときの
　・ロケット本体の質量： M　←本体は変わりません
　・ロケット搭載の推進剤の質量： m - μdt
　・速度： v + dv
　・放出された推進剤の質量： μdt
　・放出された推進剤の絶対速度： v - vp

です。
ここで、外力は一切働いていないので、運動量は保存され、
・時刻 t のときのロケットの運動量：（M + m)v
・時刻 t+dt のときのロケットの運動量：（M + m - μdt)(v + dv)
・時刻 t+dt のときの推進剤の運動量： μdt(v - vp)
より
　(M + m)v = (M + m - μdt)(v + dv) + μdt(v - vp)
です。

合っているようですよ。

これを整理して
　Mv + mv = Mv + Mdv + mv + mdv - vμdt - μdtdv + vμdt - vp*μdt
→　Mdv + mdv - μdtdv - vp*μdt = 0
→　(M + m - μdt)dv = vp*μdt
dt → 0 のとき　M+ｍ>>μdt なので
　　(M + m)dv = vp*μdt
→　dv/dt = vp*μ / (M + m)　　　　　①

これが「ロケットの運動量保存を考えた微分方程式」になります。

これを解いて
　　v(t) = [ vp*μ / (M + m) ]t + C

初期条件が t=0 のとき m=m0, v=v0 のとき
　　v(0) = C = v0
なので
　　v(t) = [ vp*μ / (M + m0) ]t + v0

この回答へのお礼

丁寧にご解説してくださりありがとうございます。
ちなみに、推進剤を全て消費した時刻におけるロケットの速度を求める時は、μt=m0として代入するというのはあっていますか？
追加の質問となり申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

お礼日時：2017/06/11 17:32

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/11 17:40

No.1です。

＞ちなみに、推進剤を全て消費した時刻におけるロケットの速度を求める時は、μt=m0として代入するというのはあっていますか？

はい。

推進剤を全て消費する時刻 tf は
　tf = m0/μ
になりますから。（最初 m0 だった推進剤を、単位時間当たり質量μずつ消費するので）

この回答へのお礼

何度も質問して申し訳ありませんでした。
どちらも丁寧に回答くださり、大変ありがとうございました。

お礼日時：2017/06/11 17:42