重力を考慮する場合のロケットの運動 一様な重力のもとで、下方に相対速度uで単位時間に質量μの割合でガ

重力を考慮する場合のロケットの運動

一様な重力のもとで、下方に相対速度uで単位時間に質量μの割合でガスを噴出しながら鉛直に上るロケットがある。その始めの質量をm0、速度を0とすると、t秒後の速度はいくらか

という問題で、外力が働いているので運動量保存則が成り立たないというのはわかります。だから、運動量の変化はロケットに働いた力積に等しいという方針で解けば良いというのもわかります。しかし、ロケットはガスから反作用を受けているので、ガスの運動量変化もガスに働いた力積に等しくなる。
この二つの式を連立すれば内力による力積の項が消えます。

しかし、どの問題集をあさってみても、

t + Δt には、質量 m + Δm 、速度 v + Δv 、運動量 P + ΔP になったと
する。実際には質量は減少しているので、 Δm < 0 である。外力として重力が働くので運動量変化分が重力による力積に等しいから、
(m+Δm)(v+Δv)+(−Δm)(v−u)−mv =−mgΔt
∴mv + mΔv + Δmv + ΔmΔv − Δmv + Δmu − mv = −mgΔt
∴mΔv + Δmu = −mgΔt

となっています。しかし、重力はロケットにもガスにも働いているのだから、系全体では-2mgΔtにならないとおかしくないですか？

ここがどうしてもわかりません！
どなたか教えてください❗️

質問者からの補足コメント

• 先ほど、ここまで自力で解けたました。
  ちなみにロケットのΔt秒後の質量をm-Δmとして式を立てました。その後、2次の微小量を無視して式を整理し、Δt→0の極限を取ると
  mdv/dt -dm/dt・u = -mg
  とし、
  
  dv/dt = -g+dm/dt・u/m
  とし、0からt秒の間で積分してみました。ただし、t=0でのロケットの質量をM、単位時間あたりのガスの噴出量をμとします。すると、僕の答えは
  v(t)=-gt+ulog[(M-μt)/M]
  となってしまって、実際の答えの
  v(t)=-gt+ulog[M/(M-μt)]
  とlogの中の分子と分母が逆になってしまいました。
  なぜか、わからないので教えてください❗️

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/07/25 20:04

• すいません、僕の勘違いでした！解けました
  
  それと、この問題、運動方程式で解こうとしたら何かうまくいかないのですが、
  t=0でのロケットの質量をMとすると、最終的に
  Mdv/dt=-Mg+μu
  になってしまって、Mがtの関数じゃなくなってしまいました。なんででしょう❓
  形は似ているのに・・・

    補足日時：2017/07/25 21:37

• 僕が立てた運動方程式は
  ロケットの最初の質量をm0とすると
  m(t)=m0-μt
  
  ガスの質量は
  M(t)=μt
  
  と表せ、これらから
  ロケット : d/dt(mv)=f-mg ・・・①
  ガス : d/dt(MV)=-f-Mg ・・・②
  
  ①より
  dm/dt・v+mdv/dt=f-mg
  
  ②より
  dM/dt・V+MdV/dt=-f-Mg
  
  ①+②より
  dm/dt・v+mdv/dt+dM/dt・V+MdV/dt=-(m+M)g
  ここで、m(t)=m0-μt、M(t)=μt、V=v-u (uは一定)
  を代入して整理すると
  -μv+(m0-μt)dv/dt+μ(v-u)+μtd/dt(v-u)=-m0g
  m0dv/dt=-m0g+μu
  dv/dt=-g+μu/m0
  
  というのが僕の計算過程です。この計算の何がおかしいのでしょうか❓なぜ最初の質量が出てくるのですか？

    補足日時：2017/07/26 18:49

No.2 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/07/25 19:40

まず定性的に考えると、ロケットの最初の質量がmですから、力積は－mgΔt であるはずですね(^^)

ロケットとガスに分けて式を書くと・・・
ロケットの受ける力をf （重力は除く）、ガスの受ける力を－f として
ロケット：(m+Δm)(v+Δv)－(m+Δm)v={f －(m+Δm)g}Δt
ガス：(－Δm)(v－u)－(－Δm)v ={－f－(－Δm)g}Δt
２式を足して
(m+Δm)(v+Δv)+(−Δm)(v−u)−mv =−mgΔt
が出てきます(^^3)

参考になれば幸いです(^^v)

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/26 12:15

No.1です。

「補足その２」に書かれたことについて。

＞Mdv/dt=-Mg+μu
＞になってしまって、Mがtの関数じゃなくなってしまいました。なんででしょう❓

「定加速度運動」としたからです。速度の微分（加速度）が一定で、 t によって変化しないと仮定しているからです。

どのように計算したのか分かりませんが、通常は、運動方程式は
　ｍ*dv/dt = -mg - u*dm/dt
となると思います。(dm/dt < 0 として）

ここでロケットの質量は燃料の質量に比べて極めて大きいとみなし（M>>μ）、かつ発射直後を考えているのか、 m → M 一定、dm/dt = -μ 一定としたのが質問者さんの運動方程式ですね。かなりの「近似」をしていることになります。

ふつうに解けば、t=0 で v=0, m=M として t=T のときの速度は
　∫[0→T](dv/dt)dt = ∫[0→T][ -g - (u/m)*dm/dt ]dt
より
　v(T) = -∫[0→T]gdt - u∫[M→M-μT][ (1/m)*dm
　　　 = -gT - u*log[ (M-μT )/M ]
　　　 = -gT + u*log[ M/(M-μT ) ]
となると思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/25 18:06

運動量の変化 = 力積

を使いますが、ここでの「力」は外力である「重力」です。

t + Δt という微小時間に、ロケット本体は m → m+Δm に（Δm<0 なので減少）、ガスは 0 → -Δm になっています。
つまり、全体の質量は
　m + 0 → (m+Δm) + (-Δm)
ということで、常に m です。ということで、働いている重力はずっと「 -mg 」で一定ということです。なので、時間 Δt 間の力積は -mgΔt です。

「重力はロケットにもガスにも働いている」ということであれば、
　ロケット本体には mg → (m+Δm)g ：平均で (m + Δm/2)g
　ガスには 0g → (-Δm)g ：平均で (-Δm/2)g
両者を足せば
　(m + Δm/2)g + (-Δm/2)g = mg
ですよ！