
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
複素数を2次元ベクトルと見るのは全然かまわないです。
複素数は掛け算と割り算が実数よりちょっとだけ拡張されてます。
実数でも
|ab| = |a||b|
|a/b| = |a|/|b|
ですが複素数でも
|ab| = |a||b|
|a/b| = |a|/|b|
で全く同じです。
つまり複素数同士の積と商では
複素数の大きさは元の複素数の大きさの積と商になります。
複素数は、実数より「角度」が拡張されてます。
実数は向き(角度)が0度と180度に限定されている
複素数と考えると良いです。
複素数 z には 大きさ |z| と偏角 arg|z| が有りますが
arg(ab) = arg(a) + arg(b)
arg(a/b) =arg(a) - arg(b)
偏角とは複素平面状での、複素数をベクトルと見た時の
実軸正方向との角度です。
複素数の積と商では、その偏角は、
元の複素数の偏角の和と差になります。
例えば、実数 -1 は |-1| = 1, arg(-1)=180度ですが
arg((-1)×(-1)) = arg((-1))+arg((-1))
= 180度+180度=360度=0度(プラス方向)
となります。つまり (-1)×(-1) = 1
となるわけですが、これは複素数でも実数でも同じです。
つまり実数の範囲では複素数の演算は実数の演算と矛盾しません。
虚数の場合
|i| =1, arg(i) = 90度
|i × i| = |i|・|i|=1, arg(i) + arg(i) = 90度+90度=180度
なので、i×i =-1 になります。
話を戻して、先に示した複素数の基本公式から
|1/z | = |1|/|z| = 1/|z|
arg(1/z) = arg(1) - arg(z) = - arg(z)
になります。ぜひ、基本公式を一つひとつ自分で導いて
理解を深めてほしいです。実数と整合が取れており、
なかなかシンプルで美しいことがわかると思います。
No.4
- 回答日時:
>「z*のライン上」というのは、原点からz*までのベクトルを考えると、そのベクトルの実数倍という意味でしょうか。
<●そうです。
>w=z*/|z|² から、原点からz*までのベクトルを考えたら、wは、そのベクトルの1/|z|² と見えてしまいます。<
●違います。w=z*/|z|²ですから、wの大きさは
|w|=|z*|/|z|²=|z|/|z|²=1/|z|
です。
何度もご回答ありがとうございます。
|w|ではなく、wばかり見ていたので、1/|z|² 倍だと早合点してしまっていたみたいです。しかし、まだすっきりしないです。
普通のベクトルだと、例えば大きさ1のベクトル a があったとして、ベクトルb がベクトルa の2倍だとすれば、bベクトルは長さ2になりますよね?それと同じように考えてしまっていました。やっぱり複素数だからそういう考え方をしてはダメなんですね。
No.2
- 回答日時:
z=a+biとして
1/z=1/(a+bi)
分子と分母にa-bi掛ければ
=(a-bi)/(a²+b²)=conj(z)/|z|² (conjは複素共役を取る関数)
|1/z|=|conj(z)/|z|²|=√(a²/|z|⁴+b²/|z|⁴)=√(|z|²/|z|⁴)=1/|z|
つまり、2行目にちゃんと必要なことがが書いてある。
複素数の絶対値の定義を知っていれば結論までは容易い
複素数をα、βとすると
|αβ|=|α||β|
|α/β|=|α|/|β|
は基本だから覚えておこう。
ご回答ありがとうございます。すみませんが、私の質問の内容が教えて下さったもの以前だったようです・・・。
複素平面は、xy平面みたいなものなので、ベクトルと同じように考えればいい、と習いました。ですので、w=conj(z)/|z|² の式を見て、conj(z)とは原点からconj(z)までのベクトルみたいなものだと考えました。それだとwはそのベクトルの1/|z|²倍なので、1/|z|倍じゃなくて単純に1/|z|²倍なのではないか?と考えてしまいました。(ぶっちゃけ|w|=1/|z|は見落としていました)
やっぱりベクトルと同一視するのはダメなのでしょうか。
No.1
- 回答日時:
w=z*/|z|² から、wは z*のライン上にあり、|w|=1/|z| から
wの大きさは 1/|z| となるから。
ご回答ありがとうございます。
「z*のライン上」というのは、原点からz*までのベクトルを考えると、そのベクトルの実数倍という意味でしょうか。
|w|=1/|z|と書いてあるので、答えてくださった通り、wは1/|z|の距離にあるのはわかりました。
なんですが、w=z*/|z|² から、原点からz*までのベクトルを考えたら、wは、そのベクトルの1/|z|² と見えてしまいます。それだと、wはz*の1/|z|倍じゃなくて、1/|z|²倍なんじゃないか?という考え方をしてしまいます。そこは、どう考えればいいのでしょうか。複素平面は、xy平面みたいなものなので、ベクトルと同じように考えればいい、と習いました。
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