複素数平面の質問です

添付の画像の、色をつけた部分がわかりません。
複素数wとzがあって、
w = ( 1/|z|^2 ) z（の上にバー）

の時、点wは点zを実軸に関して対称移動し、その点と原点を結ぶ原点を端点とする半直線上で
原点からの距離が1/|z|の位置にある点である。

と書かれているのですが、なぜ1/|z|の位置になるのでしょうか。
数式がちゃんと表せないので、画像で確認お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/01 12:55

複素数を2次元ベクトルと見るのは全然かまわないです。

複素数は掛け算と割り算が実数よりちょっとだけ拡張されてます。

実数でも
|ab| = |a||b|
|a/b| = |a|/|b|
ですが複素数でも
|ab| = |a||b|
|a/b| = |a|/|b|
で全く同じです。

つまり複素数同士の積と商では
複素数の大きさは元の複素数の大きさの積と商になります。

複素数は、実数より「角度」が拡張されてます。
実数は向き(角度)が0度と180度に限定されている
複素数と考えると良いです。

複素数 z には 大きさ |z| と偏角 arg|z| が有りますが

arg(ab) = arg(a) + arg(b)
arg(a/b) =arg(a) - arg(b)

偏角とは複素平面状での、複素数をベクトルと見た時の
実軸正方向との角度です。

複素数の積と商では、その偏角は、
元の複素数の偏角の和と差になります。


例えば、実数 -1 は |-1| = 1, arg(-1)=180度ですが

arg((-1)×(-1)) = arg((-1))+arg((-1))
= 180度+180度=360度=0度(プラス方向)
となります。つまり (-1)×(-1) = 1
となるわけですが、これは複素数でも実数でも同じです。

つまり実数の範囲では複素数の演算は実数の演算と矛盾しません。

虚数の場合
|i| =1, arg(i) = 90度
|i × i| = |i|・|i|=1, arg(i) + arg(i) = 90度+90度=180度
なので、i×i =-1 になります。

話を戻して、先に示した複素数の基本公式から
|1/z | = |1|/|z| = 1/|z|
arg(1/z) = arg(1) - arg(z) = - arg(z)
になります。ぜひ、基本公式を一つひとつ自分で導いて
理解を深めてほしいです。実数と整合が取れており、
なかなかシンプルで美しいことがわかると思います。

この回答へのお礼

とても詳しいご説明を、ありがとうございました。
教えて下さった内容をよく考えてみます。

お礼日時：2021/12/02 09:15

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/01 13:06

何の意図があるのか訳の分からないことを言って引っ張るのか

しらん。

w=z の話ではなく w=1/z の話です。

この回答へのお礼

大変申し訳ありませんでした。

お礼日時：2021/12/02 09:11

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/01 04:33

>「z*のライン上」というのは、原点からz*までのベクトルを考えると、そのベクトルの実数倍という意味でしょうか。

<

●そうです。

>w=z*/|z|²　から、原点からz*までのベクトルを考えたら、wは、そのベクトルの1/|z|² と見えてしまいます。<

●違います。w=z*/|z|²ですから、wの大きさは
　|w|=|z*|/|z|²=|z|/|z|²=1/|z|
です。

この回答へのお礼

何度もご回答ありがとうございます。
|w|ではなく、wばかり見ていたので、1/|z|² 倍だと早合点してしまっていたみたいです。しかし、まだすっきりしないです。

普通のベクトルだと、例えば大きさ１のベクトル a があったとして、ベクトルb がベクトルa の2倍だとすれば、bベクトルは長さ2になりますよね？それと同じように考えてしまっていました。やっぱり複素数だからそういう考え方をしてはダメなんですね。

お礼日時：2021/12/01 12:06

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/30 22:41

>それだとwはそのベクトルの1/|z|²倍なので、

>1/|z|倍じゃなくて単純に1/|z|²倍なのではないか？と考えてしまいました。

なんで?

|conj(z)|=|z| だから
|conj(z)/|z|²|=|conj(z)|/|z|²=|z|/|z|²=1/|z|

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
|w|を取れば、確かにそうですよね・・、
|w|じゃなくてwそのものを見ていたから間違っていたのかも、と思ってきました。伝えたいことがうまく伝えられず、すみません。

お礼日時：2021/12/01 11:55

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/30 20:45

z=a+biとして

1/z=1/(a+bi)
分子と分母にa-bi掛ければ
=(a-bi)/(a²+b²)=conj(z)/|z|² (conjは複素共役を取る関数)

|1/z|=|conj(z)/|z|²|=√(a²/|z|⁴+b²/|z|⁴)=√(|z|²/|z|⁴)=1/|z|

つまり、2行目にちゃんと必要なことがが書いてある。
複素数の絶対値の定義を知っていれば結論までは容易い

複素数をα、βとすると

|αβ|=|α||β|
|α/β|=|α|/|β|

は基本だから覚えておこう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。すみませんが、私の質問の内容が教えて下さったもの以前だったようです・・・。

複素平面は、ｘｙ平面みたいなものなので、ベクトルと同じように考えればいい、と習いました。ですので、w=conj(z)/|z|² の式を見て、conj(z)とは原点からconj(z)までのベクトルみたいなものだと考えました。それだとwはそのベクトルの1/|z|²倍なので、1/|z|倍じゃなくて単純に1/|z|²倍なのではないか？と考えてしまいました。（ぶっちゃけ|w|=1/|z|は見落としていました）
やっぱりベクトルと同一視するのはダメなのでしょうか。

お礼日時：2021/11/30 22:16

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/30 20:28

w=z*/|z|²　から、wは z*のライン上にあり、|w|=1/|z| から

wの大きさは 1/|z| となるから。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
「z*のライン上」というのは、原点からz*までのベクトルを考えると、そのベクトルの実数倍という意味でしょうか。
|w|=1/|z|と書いてあるので、答えてくださった通り、wは1/|z|の距離にあるのはわかりました。
なんですが、w=z*/|z|²　から、原点からz*までのベクトルを考えたら、wは、そのベクトルの1/|z|² と見えてしまいます。それだと、wはz*の1/|z|倍じゃなくて、1/|z|²倍なんじゃないか？という考え方をしてしまいます。そこは、どう考えればいいのでしょうか。複素平面は、ｘｙ平面みたいなものなので、ベクトルと同じように考えればいい、と習いました。

お礼日時：2021/11/30 22:09