当たりが出るまでクジを引くには。

n枚のカードの中に、当たりのカードがm枚あります。
(n≧m)

これをよく切って、机に置きます。

一番上のカードから、k枚を取って中身を見ます。
(n≧k)

その中に当たりがa枚あったとします。
(m≧a)

そのあとは、上から順番に1枚ずつ、カードを見ていきます。

当たりのカードを引くまでには、平均、何枚を見ればいいですか。

質問者からの補足コメント

• 「平均、何枚を見ればいいですか」というのは、k枚を見たあとのことです。(k枚は、見たうちに入れません)

    補足日時：2023/05/29 13:29

• ちなみに、m=aのときは、どう考えたらいいのでしょうか。
  
  この場合は、最後まで引いても当たりがありません。
  
  もしくは、質問を「m＞a」という条件にすべきですか。
  
  また、
  n=kのときは、どう考えたらいいのでしょうか。
  
  この場合は、引くクジが存在しません。
  
  これも、質問を「n＞k」にすべきですか。
  
  すべきな場合は、してから答えを教えてください。
  
  しなくてもいい場合は、どういう解釈か教えていただいた上で答えを教えてください。

    補足日時：2023/05/29 14:09

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/30 13:23

No.2 の漸化式が以外と簡単に解けた。

e[i] = E(i,M) と書くと
e[i] = 1 + e[i-1]・(i-M)/i,
e[M] = 1.

だから、漸化式の両辺に i!/(i-M)! を掛けて
e[i]・i!/(i-M)! = i!/(i-M)! + e[i-1]・(i-1)!/(i-1-M)!
より、i=M+1,M+2,...,N でΣして
e[N]・N!/(N-M)! = e[M]・M!/0! + ∑[i=M+1..N] i!/(i-M)!　←[＊]
= M! + { (N+1)P(M+1) - (M+1)P(M+1) }/(M+1)
= (N+1)P(M+1) /(M+1)
となって
e[N] = { (N+1)P(M+1) /(M+1) }/{ (N-M)! / N! }
= (N+1)/(M+1).

[＊] のΣの解消は、
(i+1)P(M+1) - iP(M+1) = (iPM){ (i+1) - (i-M) }
を i でΣすれば判る。

求めるべき期待値は、
E(n-k,m-a) = (n-k+1)/(m-a+1).
結果がこんなにシンプルだと、
なんかもっと簡単な算数解法がありそうだなあ...

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/29 13:51

要するに、 n-k 枚中に m-a 枚の当たりがあるってことです。

N = n-k, M = m-a と置こうかな。
求める平均値を E(N,M) 枚とすると、
E(N,M) = 1・(M/N) + (1 + E(N-1,M))・(1 - M/N) です。
これと E(M,M) = 1 を併せると、E(N,M) が計算できます。
できますけど... 計算がややこしいな。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/29 13:40

で、m=aの場合に限ると、「当たりのカードを引くまでには、平均、何枚を見ればいいですか。

」のコタエはどうなるんですか？
数学の問題として成立してません。