統計学の確率密度関数についてです。 記号の表記方法が分からないので画像も添付します。 よろしくお願い

統計学の確率密度関数についてです。
記号の表記方法が分からないので画像も添付します。
よろしくお願いします。

0≦x≦1の全ての値をとる確率変数Xの確率密度関数f(x)=2xについて
期待値と標準偏差が分かりません。
何度計算しても変な数字が出てくるので、解説付きで教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/15 13:44

期待値と分散の定義どおりに積分すればよいです。

定義と計算だけ。知識は要りません。

期待値は、
E[X] = ∫[0,1] x f(x) dx
　　= ∫[0,1] 2x^2 dx
　　= (2/3)1^3 - (2/3)0^3
　　= 2/3.

分散は、
V[X] = ∫[0,1] (x - E[X])^2 f(x) dx
　　= ∫[0,1] (x - 2/3)^2・2x dx
　　= ∫[0,1]{ 2x^3 - (8/3)x^2 + (8/9)x }dx
　　= { (1/2)1^4 - (8/9)1^3 + (4/9)1^2 } - { (1/2)0^4 - (8/9)0^3 + (4/9)0^2 }
　　= 1/18.

標準偏差は、
σ[X] = √V[X] = 1/(3√2).

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/13 16:55

２次の中心積率の式も間違えてるわ。

お恥ずかしい。

・・・・
分散は２次の中心積率です。スコアのバリアンスVは、
V(g(x))＝∫{g(x)ーμ}^2・f(x)dx
・・・・

スコアから平均を引いたものを「２乗」しなければなりません。
ホント、すみません。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/13 16:39

有理化を求めていないことに興奮して、分母の有理化を間違えましたわ。

分母を有理化して、
σ(x)＝√2／6

問題の解答には影響なくて良かったです。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/11/13 12:34

#1さんのサイコロの例は、例として相応しくないかも。

確率は確率密度関数の面積です。だから、ア、イの部分は面積を求めるための積分になっています。

サイコロの１の目、２の目・・・の各生起確率は1/6ですが、出目は離散事象なので、グラフに描いても面積を持ちません。
離散事象の生起確率は確率質量と言い、その関数を確率質量関数と言います。確率質量関数は積分できません。
そのかわり、例えば３以上の目が出る確率は、サンメンションで定義されます。

さて、1/2≦X≦1（イコールは有っても無くても良い）の範囲を取る確率プロバビリティPは、

（与式）＝１ー2/2・1/4＝3/4
よって、アは３、イは４
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

期待値は１次の積率です。スコア関数をg(x)、確率密度関数をf(x)とすると、スコアの期待値エクスペクテーションEは、
E(g(x))＝∫g(x)f(x)dx
＝μ

分散は２次の中心積率です。スコアのバリアンスVは、
V(g(x))＝∫{g(x)ーμ}f(x)dx

いずれも積分範囲はー∞から＋∞です。

でも、#1さんがおっしゃるように２次の中心積率は積分が大変なので、
分散の公式、V(x)＝E(x^2)ーE(x)^2
を使います。
ただし、これは不偏分散でなく標本分散であることに注意が必要です。
QC検定などでは、ここに関して引っ掛け問題が出ます。

では、g(x)＝xの平均、g(x)＝x^2の平均を求めてみましょう。

E(x)＝∫x・2xdx＝［2/3・x^3］0→1＝2/3
E(x^2)＝∫x^2・2xdx＝［2/4・x^4］0→1＝2/4

ここで、ウは２、エは３
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

分散を求めます。
V(x)＝E(x^2)ーE(x)^2＝2/4－(2/3)^2＝(18ー16)/36＝1/18

標準偏差は、
σ(x)＝√V(x)＝1／3√2

分母を有理化して、
σ(x)＝√2／3

おっと、有理化する必要はないんかい！

オは１、カは３、キは２
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

検算は必ず行って下さいね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/13 09:24

＞期待値と標準偏差が分かりません。

それぞれの定義を復習してください。
また、分散には「便利な公式」（下記の③）もあります。（この式への変形は、テキストにも載っているはずなので、一生に一度は自分でトレースしてみてください）

たとえば、「1～6 の目のサイコロで、各数字の出る確率が 1/6 であるとき、出る目の期待値は？」といわれたら
　「1」の目の出る確率：1/6
　「2」の目の出る確率：1/6
　　～
　「6」の目の出る確率：1/6
なので、
　期待値 = １ × (1/6) + 2 × (1/6) + ・・・ + 6 × (1/6)
　　　　= 3.5
ですよね？

つまり、「実現値」×「その確率」の合計です。
これは、各々が同じ確率であれば「出る目の数の平均」と同じになります。
（テストの「平均値」は、一人一人の点数の期待値と同じ）

ということで

E[X] = ∫[-∞→+∞]{x･f(x)}dx　　　　①


標準偏差は、各々の値の「期待値からのばらつき（２乗偏差）の期待値」です。
つまり

V[X] ＝∫[-∞→+∞]{(x - E[X])^2･f(x)}dx　　　②

ただし、これをまっとうに計算するのは大変なので、被積分関数を変形して得られる

V[X] = E[X^2] - {[E[X]}^2　　　　③

という式で計算することが多いです。

期待値の定義から分かるように
　E[X^2] = ∫[-∞→+∞]{x^2･f(x)}dx
で求まります。

上記はちゃんとテキストに載っているはず。
計算は自分でやってください。


＞何度計算しても変な数字が出てくるので

だったら、あなたのやっている計算を書いてみてください。