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実際にテストに出題された数学の問題です。『行きは時速40km、帰りは時速60kmで走った時の平均の時速を求めなさい。』どう考えても、平均時速は50kmだと思うのですが、解答は平均時速48km。この数字がなぜ出て来るのか、分かる方、是非是非レクチャーして下さい。お願い致します。

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A 回答 (8件)

平均にはいろいろな種類があり、一般によく使うものが、「相加平均」というものです。

二数a,bの相加平均なら、(a+b)/2というものです。
(40+60)/2=50
として求めた
「平均は時速50km」
というのも、平均ではありますが、速度ではこの平均は使いません。
速度で平均というと、「調和平均」というものを使います。

二数a,bの調和平均というと、
2/{(1/a)+(1/b)}
という式であらわされます。
これは、簡単にすると、
2ab/(a+b)
ですが、こんな式を覚えても、覚えられるわけがありません。


この場合、「往復の距離」と「かかった時間」を考えます。
往復の距離は、どうおいてもらっても自由です。
片道を1(km)とでもおきましょう。
行きは時速40kmで走ったのですから、行きにかかった時間は1/40(時間)、帰りは時速60kmなので、1/60(時間)かかったことになります。

よって、往復にかかった時間は、(1/40)+(1/60)=5/120(時間)ということになります。
片道1kmなので、往復で2kmです。
2kmを5/120時間かけて進んだのですから、ずっと同じ速さ(=平均の速さ)で進んでいたと考えると、その速さは、
2÷(5/120)=48
となり、時速48kmということになります。

ちなみに、平均というと、もうひとつ代表的なものに、「相乗平均」があります。二数a,bの平均は、√(ab)であらわされます。
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この回答へのお礼

スッキリしました!御丁寧に有り難うございました。

お礼日時:2008/08/04 23:27

「平均時速」とは、


(速さの平均)=(移動した道のり)÷(移動に要した時間)
を、時速の単位で表したものです。
問題の道のりが、片道 χ [km] だとすると、
平均時速は、
(χ + χ)÷(χ/40 + χ/60) = 2÷(1/40 + 1/60) = 48 [km/時]。

(速度の平均)=(移動した距離)/(移動に要した時間)
は、同じ道を往復した場合には、0です。
出発点に戻ったのなら、結局、移動距離はゼロですから。

『どう考えても 50 [km/時]』というのは、(40 + 50) / 2 のことでしょう?
それは、「時速の(算術)平均」とでも言うかな?
「平均時速」とは、全く別物です。
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この回答へのお礼

スッキリしました!御丁寧に有り難うございました。

お礼日時:2008/08/04 23:36

この問題の具体的な解き方は、他の方が既に投稿しているので、私は書きません。



そのかわり、一般的な考え方をアドバイスします。

この問題のポイントは、何でもうかつに(算術)平均をとらないで、中学生になったつもりで、問題を整理するということです。

みなさんの説明をご覧になって気づいたとおもいますが、結局、片道の距離は何キロでもよいのです。

つまり、この問題は以下のように、定式化されます。
行きがakm/時、帰りがbkm/時の時の平均時速は、 2/ ( 1/a  + 1/b ) となります。

これを調和平均といいます。

それでは、以下の場合はどうなるでしょうか。 ある場所に、荷物を届けたが、忘れ物をしたので、一度もどって、また荷物を届けた場合です。 行きがakm/時、帰りがbkm/時、もう一度届けたときがckm/時だったとすると、その時の平均時速は、

3/ ( 1/a  + 1/b + 1/c )となります。

行きと帰りがいくつ増えても、いかのようになります。

 平均時速 =  走った片道の回数 / (それぞれの時速の逆数の和)

これが調和平均です。

往復の平均時速と同様に間違いやすいのが、伸び率の平均です。

たとえば去年の売り上げが前々年より20%伸びて、今年売上が去年より30%伸びた場合、この2年間の売上の平均伸び率はいくらになりますでしょうか。

これも、単純な(算術)平均をとるのではなく、中学生になったつもりで問題を整理すると簡単に計算ができます。 答えは24.9%です。
この場合の平均を幾何平均といいます。


調和平均や幾何平均は、必ず算術平均より小さくなります。








   
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この回答へのお礼

スッキリしました!御丁寧に有り難うございました。

お礼日時:2008/08/04 23:34

あなたの家から、目的地まで120Kmあるとします。



行きを40Km/時で走った場合、120Km÷40km/時=3時間
帰りを60Km/時で走った場合、120Km÷60Km/時=2時間
つまり、合計240Kmの距離を5時間かけて走ったことになります。

なので、1時間あたりの平均速度は(距離÷時間=速さ)
240(Km)/5(時)=48Km/時
になります。
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この回答へのお礼

スッキリしました!御丁寧に有り難うございました。

お礼日時:2008/08/04 23:25

平均時速v=往復距離(2a)/行き帰りの時間(t1+t2)


です。
ここで
片道距離a
とすると
行きの所要時間t1=a/40
帰りの所要時間t2=a/60

v=2a/(t1+t2)=2a/{(a/40)+(a/60)}
=2*40*60/(40+60)=2*4*6=48 [km/h]
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この回答へのお礼

スッキリしました!御丁寧に有り難うございました。

お礼日時:2008/08/04 23:24

こんばんは。



平均時速の定義を知らないと解けません。

「平均時速」とは、

平均時速 = 進んだ距離の合計 ÷ かかった時間の合計

というのがお約束です。

片道の距離をLと置けば、

平均時速 = 2L ÷ (L/40 + L/60)


以上、ご参考になりましたら。
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この回答へのお礼

スッキリしました!御丁寧に有り難うございました。

お礼日時:2008/08/04 23:22

 移動した距離は同じで、速度のみが違うわけです。

従って、往復するのにかかった時間を求めれば、平均の速度も計算できます。

 片道の距離をL、往路の移動時間をT1、復路の移動時間をT2とすると、

往路:T1=L/40
復路:T2=L/60

 平均速度Vは次のようになります。

 V=2L/(T1+T2)
  =2L/(L/40+L/60)
  =48(km/h)
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この回答へのお礼

スッキリしました!御丁寧に有り難うございました。

お礼日時:2008/08/04 23:20

 


何時間走ったか考えましょう。

行きは40km/hで3時間走ったと仮定すれば距離は120km
120kmを60km/hで帰るなら2時間で済む。
合計、240kmを5時間で走ったのだから240/5=48km/h

40km/hで走ったのと同じ時間60km/hで走って帰ると家を通り過ぎますよ。

 
 
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この回答へのお礼

スッキリしました!御丁寧に有り難うございました。

お礼日時:2008/08/04 23:18

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Q平均時速の計算

平均時速の計算 教えてください
先日の産経新聞で見たのですが 
往きの時速-40Km, 帰りの時速-60Km
のとき 往復の平均時速は? という話で
正解は 48Km とありました。 (50Kmかと思ったのですが)
大変お恥ずかしいのですが 何故 48Km か 分かりません。
どなたか 教えて下さい。


 

Aベストアンサー

分かりやすく「片道120Km」だとしてみましょうか。
往きは時速40Kmだから120÷40=3(時間)
帰りは時速60Kmだから120÷60=2(時間)
よって往復で3+2=5時間かかっているわけです。

一方往復の距離自体は片道で120Kmですから×2の240Kmですよね。

となるとその平均時速は240÷5=48(Km/h)となるわけです。
計算上はこのようになります。

ではなんで単純に中間の50Km/hにならないのかというと、時速って上の時間を求める式だと割る数、「分数で言うところの分母」ですよね?
分数って分母が異なる際は通分しないとダメですよね?
1/4と1/6との平均だったら3/12(=1/4)と2/12(=1/6)といったかんじで分母を同じにしたうえで分子を足して5/12、2で割って5/24が答えですよね?
単純に1/5にはならないですよね。
こういった理屈です。

Q速さの平均をなぜ相加平均で解いたらダメなのか?教えてください。

友達に簡単な中学校の問題を質問されました。
(1)のように解説して解いて教えたのですが、
「それは理解できた。でもなぜ(2)は間違いなの?(2)も平均じゃないの?」っと聞かれて、答えられませんでした。
でインターネットで調べているうにち僕も分からなくなってきました。
もし、問題に相加平均を求めよ!!って書いてあったら(2)が正解な気さえしてきました。
(2)の解答がダメな理由、是非詳しく教えてください!!

問題
Aさんは自宅から12km離れた親戚の家まで行ってきました。行きは時速6kmで、帰りは時速4kmで歩きました。
Aさんが往復した平均の速さは時速何kmでしょうか。

(1)調和平均を用いた本当の解答
Aさんは往復で24km移動し、それにかかった時間は、行きが12÷6=2、帰りが12÷4=3
Aさんは24kmを5時間かけて移動しているので
速さは24÷5=4.8 時速4.8km

(2)相加平均を用いた間違いの解答
6km+4km=10km  10km÷2(往復)=5km    答え 時速5km

Aベストアンサー

まず、平均とは何なのかについて説明させていただきますと、
ある単位で表されるものの合計をある単位で割ったものです。
例えば、平均年齢の場合は、各人の年齢の合計を人数で割ったもの
であり、その平均の単位は平均年齢が20歳の場合は20歳/人で
表されますが、日常的には単位の/人は省略されます。
要するに1人当たりの年齢が、平均年齢に当たるわけです。

また、人口密度についても、ある都道府県もしくは市町村の総人口
を面積km2で割ったものであり、単位としては人/km^2として表されます。
これも一種の平均になります。

これらを踏まえ、相加平均で計算した場合の単位について見てみると、
6km/h + 4km/h / 2個 =5(km/h)/個と意味不明な単位になります
ね。要するにこの場合は、2つの平均の速度のデータから1個あたりの
データの平均値を求めているだけに過ぎず、これは平均の速度の定義に外れるわけです。

従って、平均の速度とは、移動距離の総和を移動時間で割ったものに
あたります。よって、行きの平均の速さ、帰りの平均の速さから、
往復の平均の早さを求めるためには、
行きの平均の速さv1,行きの移動時間t1,帰りの平均の早さv2,
帰りの移動時間t2とおくと、(v1t1+v2t2)/(t1+t2)と表され、
片道の距離をSとおくと、t1 = S/v1, t2 = S/v2と表されるので、
これらを代入して計算すると、2S/(S/v1 + S/v2)となるので、
2/(1/v1 + 1/v2)となり、結果的には調和平均になるわけですね。

よって、平均の計算をする時は、何に対する平均を求めるのかを把握し
、なおかつ単位を意識して使い分ける事が重要です。

まず、平均とは何なのかについて説明させていただきますと、
ある単位で表されるものの合計をある単位で割ったものです。
例えば、平均年齢の場合は、各人の年齢の合計を人数で割ったもの
であり、その平均の単位は平均年齢が20歳の場合は20歳/人で
表されますが、日常的には単位の/人は省略されます。
要するに1人当たりの年齢が、平均年齢に当たるわけです。

また、人口密度についても、ある都道府県もしくは市町村の総人口
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Q「以降」ってその日も含めますか

10以上だったら10も含める。10未満だったら10は含めない。では10以降は10を含めるのでしょうか?含めないのでしょうか?例えば10日以降にお越しくださいという文があるとします。これは10日も含めるのか、もしくは11日目からのどちらをさしているんでしょうか?自分は10日も含めると思い、今までずっとそのような意味で使ってきましたが実際はどうなんでしょうか?辞書を引いてものってないので疑問に思ってしまいました。

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Q卒業検定に落ちた人!

卒業検定に落ちた人!
(ペーパー試験じゃなくて、実技の方)

どの理由で落ちたか教えてください。
あと10日程で、卒業検定です。
参考にさせてください。

Aベストアンサー

一般的なことは,皆様が書かれている通りです
自分は一発合格でしたが
私の卒業した学校であった,変わったエピソードがあります
参考まで

交差点手前でで一台のトラックが止まっていたのですが
検定車5台の内,先頭の運転手が信号待ちと判断
トラックの後ろに停止,残り4台も同様に停止しました
ところが,トラックは信号待ちではなく
交差点近くの電話ボックスで電話する為に停車していただけだった
検定者は誰も気付かず教官に指摘された
ところが,車間距離が近すぎて,免許所持者なら切り返しで
抜けられるところ,未熟なため列から抜け出せず
全員が100点原点で不合格になった(実話ですよ)

ポイントは状況判断ミスと走行不能による検定中断になったため
一般的なことは皆様書かれているようなことで
おそらく,質問者様もある程度予測できていることも
あると思います
上のような,予測不可能な事態に巻き込まれたとき
如何に判断して抜け出せるかだと思います

運とか,こういう場面に出くわす確立とか
ありますが,平常,冷静を保つことが大事です!!

一般的なことは,皆様が書かれている通りです
自分は一発合格でしたが
私の卒業した学校であった,変わったエピソードがあります
参考まで

交差点手前でで一台のトラックが止まっていたのですが
検定車5台の内,先頭の運転手が信号待ちと判断
トラックの後ろに停止,残り4台も同様に停止しました
ところが,トラックは信号待ちではなく
交差点近くの電話ボックスで電話する為に停車していただけだった
検定者は誰も気付かず教官に指摘された
ところが,車間距離が近すぎて,免許所持者なら切り返し...続きを読む

Q割引の計算の仕方を教えて下さい。

5980円の60%オフ、30%オフ、25%オフを電卓で出したいのですが、計算の仕方を教えて下さい。
分かりやすく教えていただけたら嬉しいです!!
よろしくお願いいたします!!

Aベストアンサー

まず100%=1なので
60% = 0.6
30% = 0.3
25% = 0.25
としてこれが割引かれる分ですから

実際の価格はそれぞれ1から引いた残りを掛ければ良いです。
5980*(1-0.6)=5980*0.4
5980*(1-0.3)=5980*0.7
5980*(1-0.25)=5980*0.75

ではでは。

Qパーセントの計算がまったく出来ません…

本当にお恥ずかしいのですが、パーセントの計算方法を教えて下さい。

お店のバーゲンセールなどでよく「50%オフ」「45%オフ」といった表示を見ます。50%は半分ということは「感覚」でわかるので、定価が2000円ならその50%オフは1000円ですし、1500円なら750円と計算が出来ます。
ですが、たとえば75%オフだとか、44%オフだとか、80%オフだとか、そういう中途半端(?)な数の場合、さっぱりわからないのです。テレビなんかでバーゲンセールを取材している様子を見るとリポーターの女性なんかが「定価が○○円で、65%オフ!?ということは○○円ですね!?」などとパッと暗算で計算しているのを見るととても驚きます。

暗算とまではいかなくても計算機(ケータイにもその機能はありますし)があればいいので、どういう計算式でその%オフされた数字を出すのか教えて下さい。

また、今のバイト先で、商品の売り上げ目標というのを作るのですが、先輩たちのミーティングを見ていると「目標○○万円でしたが、××円しか売り上げがなく、△△%の達成率となってしまいました」と報告をしているのですが、この場合もどのような計算式で計算しているのでしょうか?

消費税を出す場合につきましても教えて頂きたいのですが、今現在の税率は5%で、その計算をする場合は「定価×1.05」で出ますよね。なぜ、1.05をかけるのかわからないのです。

本当にお恥ずかしいのですが、どうか教えてください。まったくわからないので、出来る限り丁寧で細かい説明をして頂けると本当に助かります。よろしくお願いいたします。

本当にお恥ずかしいのですが、パーセントの計算方法を教えて下さい。

お店のバーゲンセールなどでよく「50%オフ」「45%オフ」といった表示を見ます。50%は半分ということは「感覚」でわかるので、定価が2000円ならその50%オフは1000円ですし、1500円なら750円と計算が出来ます。
ですが、たとえば75%オフだとか、44%オフだとか、80%オフだとか、そういう中途半端(?)な数の場合、さっぱりわからないのです。テレビなんかでバーゲンセールを取材している様子を見るとリポーターの女性なんかが「定価が○○...続きを読む

Aベストアンサー

丁寧で細かい説明が希望とのことなので、ちょっと長くなりますが書いてみます。
数学的には無駄の多い説明ですが、分かりやすく説明したつもりですので読んでみてください。

1000円の50%は500円、30%は300円であることは分かりますね?
これは以下計算をしていることになります。
 1000×(50÷100)=500
 1000×(30÷100)=300
●%ってのは●÷100のことです。
で、▲円の●%を求める場合、▲×(●÷100)で計算します。

次、1000円の30%オフって場合ですが、「オフ」=値引きです。
つまり、1000円の30%分を値引きします、ということですよね。
だから、元の値段1000円から1000円の30%分である300円を引いた
残りである700円が答えです。
でもそれを計算するのは面倒なので、ちょっとテクニックがあります。
30%オフということは、元の値段の70%分を求めればよいと考えます。
つまり、1000円の70%なので700円、となります。
ここまではいいですか?

次、達成率の計算ですが、、
目標100万円に対して売り上げも100万円だったら達成率は100%なのは
感覚的に分かりますよね?
つまり、達成率=(実際の値÷目標値)です。
%で表現する場合はこれに100を掛けます。(●%=●÷100だから)
たとえば目標50万円で売り上げ35万であれば35÷50×100なので70%になります。

最後、消費税。前述のオフとは逆で、消費税5%分を上乗せする、と考えます。
つまり、税抜き●円であれば、●円と●円の5%を足した金額が税込み金額です。
式にすると●+(●×5÷100)です。
これが基本ですが、先程のオフの計算のテクニックと同じ考え方が適用できます。
5%上乗せした額ってことは、元の値段の105%分を求めればよいと考えます。
ですから●×(105÷100)です。
ここで出てくる(105÷100)は1.05ですよね。
つまり、元の値段●に1.05を掛ければよいのです。

おまけ。暗算を早くするためのテクニック初級編として3つだけ書いておきます。
1.計算式に掛け算と割り算しかない場合、もしくは足し算と引き算しかない場合、
  順番を無視しても答えは一緒です。
  上の例でいくと35÷50×100は35×100÷50でも答えは一緒です。
  で、100÷50を先に計算して、それに35を掛けます。
  これならすぐに暗算できますね。

2.割り算の場合、前後の数字に同じ値を掛け算しても答えは一緒です。
  たとえば35÷50であれば、前後に2を掛けて(35×2)÷(50×2)でも
  答えは一緒です。
  35÷50の暗算は一瞬悩むけど、70÷100なら簡単ですよね。

3.掛け算の場合、前後の数字を分解して細かく掛け算しても答えは一緒です。
  たとえば25×32を計算する場合、32は4×8なので25×4×8を計算しても
  答えは一緒です。
  25×4は100、100×8で800ということで25×32=800です。
  これなら暗算できそうですよね。

丁寧で細かい説明が希望とのことなので、ちょっと長くなりますが書いてみます。
数学的には無駄の多い説明ですが、分かりやすく説明したつもりですので読んでみてください。

1000円の50%は500円、30%は300円であることは分かりますね?
これは以下計算をしていることになります。
 1000×(50÷100)=500
 1000×(30÷100)=300
●%ってのは●÷100のことです。
で、▲円の●%を求める場合、▲×(●÷100)で計算します。

次、1000円の30%オフって場...続きを読む

Q時速の計算 小6

「49km離れた所まで1時間24分。これを時速何kmか、分数で表記し計算しなさい」
というドリル計算なのですが、どう解きますか?

Aベストアンサー

どこを分数で表記するかで変わりますけど。
距離÷時間が速さですから、これに素直に当てはめると49km÷1時間24分=速さです。
ですが、時間が1時間24分では計算できないので分にしてしまうか時間にしてしまうしかないです。
ですから時間のところで分数を使うと言うことになるでしょう。
そうなると
49÷84/60となります。84/60を約分すると7/5ですから49割る7/5=35となり時速35kmとなります

Q9でわると4あまり、12でわると7あまる数??

最小公倍数の練習問題で、
「9でわると4あまり、12でわると7あまる数を、
小さいほうから順に3つ求めなさい。」
というものがありました。

解説には、
「9でわると4あまる数は、9の倍数より5小さい数で、12でわると7あまる数は、12の倍数より5小さい数。求める数は、9と12の公倍数より5小さい数になる。」
と書かれていました。

「9でわると4あまる」=「9の倍数より5小さい」
「12でわると7あまる」=「12の倍数より5小さい」
ということが、いまいちピンと来ません。

最小公倍数の定義・求め方は理解しています。

かなり根本的な疑問ですが、
どなたかご回答よろしくお願いします!!!

Aベストアンサー

>いまいちピンと来ません。
というのがどういう意味なのかいまいちピンときません(笑)
いくつか回答がされていますが補足もないので、実際にどういうことを求めていらっしゃるのかがはっきりしないのですが、
「9でわると4あまる数」というのは普通なら「9の倍数+4」で求めるのが楽なのに、
なんで「9の倍数-5」で求めるのか?という点でピンとこないとおっしゃったのかと私は思ったのですが。

「9の倍数+4」で9で割ると4あまる数を小さいほうからいくつか見つける(3つじゃ足りないのでもっとたくさん)、
「12の倍数+7」で12で割ると7あまる数をいくつか見つける(3つじゃ足りないのでもっとたくさん)、
それぞれの数字に共通する数字を小さいほうから3つ選ぶ。
というやりかたよりも、
「9の倍数-5」が9で割ると4あまる数で「12の倍数-5」が12で割ると7あまる数、
どちらも倍数から5を引けばいいので小さいほうから3つ公倍数を見つけて5を引く。
こちらのほうがわかりやすくて早い、ですよね。たぶん。
まったく見当違いのことを言っているかもしれません。すみません。

>いまいちピンと来ません。
というのがどういう意味なのかいまいちピンときません(笑)
いくつか回答がされていますが補足もないので、実際にどういうことを求めていらっしゃるのかがはっきりしないのですが、
「9でわると4あまる数」というのは普通なら「9の倍数+4」で求めるのが楽なのに、
なんで「9の倍数-5」で求めるのか?という点でピンとこないとおっしゃったのかと私は思ったのですが。

「9の倍数+4」で9で割ると4あまる数を小さいほうからいくつか見つける(3つじゃ足りないのでもっ...続きを読む

Q比率の計算

比率の計算方法を教えて頂きたいのですが、例えば・・・男女の比率を6対4として、6が50人だった場合、4は何人になるのでしょうか?
出来れば比率自体の簡単な計算式も教えて頂ければ嬉しいです。

Aベストアンサー

要するに
50×4/6
をすればいいのです。

4は6より小さい。求めてる方が比べてるほうより大きいか小さいかを考えて、大きいなら大きいほうを分子に、小さいほうを分母にかけてしまえばいいのです。
今回なら50×6/4にしたら75になって女のほうが多くなってしまいますよね。それはおかしい。そしたら「逆だっ」て気付いて50×4/6にするのです。

Q全体の何パーセントかが分からないです。

質問を見てくださってありがとうございます。

いくらは全体の何パーセントかという計算が出来ず、困っています。

たとえば月収27万として、生活費を3万とすると3万は全体の何パーセント分なのかという出し方が分かりません。

こんな質問でお恥ずかしいのですが、良かったら教えてください。。。
どうぞよろしくお願いします!

Aベストアンサー

何パーセントかを求めたい数を、100%にする数(全体)で割ると割合が出ます。
ご質問の内容だと、3万円÷27万円を計算することになります。
 3万÷27万=0.111…

計算で出てきた割合に100をかけると何%かが求められます。
 0.111×100=11.1
だいたい11%ぐらいです。


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