真か偽か

長方形の周の長さは、それと等しい面積の円の円周より必ず長くなることを示せ。

直方体の面の面積は、それと等しい面積の球面の面積より必ず長くなるは真か偽か。
真なら証明願う；

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2018/01/28 13:51

同じ面積ならば、（長方形の周の長さ）＞（正方形の周の長さ）は、簡単に証明できますから、

問題を、「正方形の周の長さ」と読み替えた方が計算が楽になります。

体積も同じように「立方体の体積」とした方が、簡単です。

No.2 回答者： kannnami 回答日時： 2018/01/28 12:39

上段の問題は、No.1の回答に示されている通りです。

下段は、それと等しい「面積の」ではなくて、「体積の」（球の面の面積）でしょう。また「長くなる」ではなくて、「大きくなる」でしょう。
そう修正したうえで、真です。証明法は上段の方法に倣ってください。

No.1 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2018/01/28 07:46

下段は、どこか単語が違っていると思いますので、ご確認下さい。

上段は、次のように示せると思います。

長方形の2辺の長さをa, b、円の半径をr とすると
　　ab = πr^2　（a, b, r はいずれも正の実数）

{（長方形の周の長さ）^2 - （円周の長さ）^2}/4
= {(2a+2b)^2 - (2πr)^2｝/4
= {4(a+b)^2 - 4π(πr^2)}/4
= (a+b)^2 - πab
= (a-b)^2 +(4ーπ)ab >0
ここで、（長方形の周の長さ）＞０、 （円周の長さ）＞０なので、
（長方形の周の長さ）＞（円周の長さ）