たぶん数学(1)の問題です。

次の問題に対する解答と解き方を教えてください。

等式 ｘｙ = ｘ + ｙ + 5 ( x ＜ ｙ　）をみたす整数 x, yの組をすべて求めなさい。

数学の問題集の問題なのですが、解き方がよく分かりません。よろしくお願いします。

No.1 回答者： a-kuma 回答日時： 2001/07/22 18:58

とりあえず、y について整理してみましょう。

xy = x + y + 5

(x - 1)y = x + 5

　　x + 5
y = ───
　　x - 1

　　x - 1 + 6
y = ─────
　　x - 1

　　　6
y = ─── + 1
　　x - 1


y が整数なんだから、6 / (x - 1) が整数になるので、x は幾つかしか
ないですね。後は、x ＜ y を満たしているものを探すだけ。

この回答へのお礼

とても早い回答、ありがとうございます。私は今受験勉強の真っ最中で、数学の勉強をしていたのですがつまづいてしまって・・・。
いまから、この問題にもう１度チャレンジしてみようと思います。本当にありがとうございました。

お礼日時：2001/07/22 21:14

No.2 ベストアンサー 回答者： ume_pyon 回答日時： 2001/07/22 20:02

因数分解を用るとすっきり計算できます。

xy、-x、-yを見た瞬間、これに1を加えると
(x-1)(y-1)に因数分解できることに気付くかがポイントです。

xy=x+y+5
→xy-x-y=5
→xy-x-y+1=6
→(x-1)(y-1)=6

ここで、x-1=X、y-1=Yとおくと、XY=6になります。x、yは整数であるから、
X,Yも整数(X<Y)になります。だから、これを満たす組み合わせは、
(X,Y)=(1,6),(2,3),(-6,-1),(-3,-2)
だけですよね。
※負×負＝正であるから、X<Y<0も忘れずに。

あとは、x=X+1、y=Y+1より、上の値を変換すると、
(x,y)=(2,7),(3,4),(-5,0),(-2,-1)
となります。

この回答へのお礼

詳しい回答、そしてすばやい回答ありがとうございます。これからもう１度問題を解き直してみます。本当にありがとうございました。

お礼日時：2001/07/22 21:18