二次関数における変化の割合がわかりません。

二次関数における変化の割合がわかりません。一次関数においては単に、傾きや係数を求めることと言うことが分かりましたが、二次関数においては、何を意味するのでしょうか？本質的なことが知りたいです。よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 微分の平均変化率と考えは同じでしょうか？

    補足日時：2019/07/15 20:22

No.2 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/07/15 23:14

一般に関数 f(x) の2値間 (s→t) の変化の割合 (平均変化率) とは

{f(t)-f(s)}/(t-s)
のことを言います。つまり x が s→t に変化する間に f(x) は f(s)→f(t) に変化するのでその間を直線的に結んだときの傾きを求めることであり、途中がどんなに曲がっていても途切れていても考慮する必要はありません。

一次関数ならば傾きは一定なのでどの2値を採っても変化率は一定であり
y=ax+b
ならば常に a となります。
しかし二次関数の場合2値の採り方によって変化率は変わってきます。放物線上の2点間につっかえ棒をしてその傾きを求めるイメージです。
y=ax²+bx+c
ならば
{(at²+bt+c)-(as²+bs+c)}/(t-s)
={a(t²-s²)+b(t-s)}/(t-s)
=a(s+t)+b
という具合です。

この時の s と t の値を限りなく近づけていった時の瞬間変化率のことを微分係数といい f’(s) で表します。これは、s の関数とみなすことができるので f’(x) のことを f(x) の導関数と呼び、導関数を求めることを微分と言います。

つまり微分係数とは平均変化率の極限値を指します。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/07/16 09:28

変化の割合はy軸の変化の領域÷ｘ軸の変化の領域です。

１次も２次も傾きです。
１次関数の最も簡単な例で示すと、
ｙ＝ｘでｘ軸の変化の領域ｘ₂－ｘ₁の時、ｙ軸の変化の領域ｙ₂－ｙ₁＝ｘ₂－ｘ₁
から、変化の割合は（ｙ₂－ｙ₁）/(ｘ₂－ｘ₁)=1・・傾き一定
２次関数の最も簡単な例で示すと、
ｙ＝ｘ²でｘ軸の変化の領域ｘ₂－ｘ₁の時、ｙ軸の変化の領域ｙ₂－ｙ₁＝ｘ₂²－ｘ₁²
から、変化の割合は（ｙ₂－ｙ₁）/(ｘ₂－ｘ₁)=(ｘ₂＋ｘ₁)・・傾き常に変化

微分の場合はｘ₂＝ｘ₁の時です。そうするとｄｙ/dx=2x₁、ｘ＝x₁での傾きは２ｘ₁に
なります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/15 21:03

「二次関数における変化の割合」という言葉が何を指して言っているのかは、

もうすこし説明が無いとイマイチ伝わらない感じはしますが...
おそらく、「微分の平均変化率と考えは同じ」なのではないかと思います。

二次関数に限らず、一般に関数 f(x) において、
x が a から b に変化するとき、f(x) は f(a) から f(b) に変化するのですから、
このとき x の変化に対する f(x) の「変化の割合」は、( f(b)-f(a) )/(b-a) です。

微分の話をするときは、x = a での f(x) の「(瞬間)変化率」 f’(a) との
区別や対比のために、これを a ≦ x ≦ b での f(x) の「平均変化率」と呼びます。