ババ抜きの確率

トランプのババ抜きについて。ババ抜きのルールは省略します。
プレーヤー4人(A,B,C,D)にJoker1枚を含む53枚を配り、A,B,Cに12枚、Dに13枚配る。
同じ数値のカードを抜いた後の準備段階で、
A:6枚
B:4枚
C:4枚
D:1枚
であった場合、Jokerを持っている確率の最も高い人は誰で、その確率は?
(まだ、誰も引いていない状態です)



たぶん、答えは、
13/53でDが一番高い。
直感的には分かるのですが、間違った回答の人に何が間違っているかをも上手く説明できない。
あの話題の問題に似ていますが、なんとか理論とか簡単な説明とかは、素人向けにないですか?

質問者からの補足コメント

• 問題文の数値は誤記が多いので、あまりこだわらないでください。
  問題投稿時の10:00から予定だったのでよく見なかったことと、記憶に基づいて書いたのが誤記の原因です。
  それよりも、ババ抜きでの配った後、同じ数値のカードを抜いても、ジョーカーを持っている人の確率は変わらないということの説明についてです。
  あと、似ている問題は、モンティ・ホール問題と3囚人問題でした。

    補足日時：2021/07/10 14:16

No.28 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/16 22:07

#26です。

最終的に至った導出モデルは次のようになりましたが、ピッタリではありませんでした。どこを間違えているのでしょう。
ご意見を頂ければ幸甚です。



# 残っている目の数
x <- (sum(7, 5, 5, 2) - 1) / 2
x
[1] 9

p <- 18/19

A <- 13/53 * choose(x, 6) * choose(x, 5) * choose(x, 5) *choose(x, 2) * p^6 * (1 - p)
B <- 13/53 * choose(x, 7) * choose(x, 4) * choose(x, 5) *choose(x, 2) * p^4 * (1 - p)
C <- 13/53 * choose(x, 7) * choose(x, 5) * choose(x, 4) *choose(x, 2) * p^4 * (1 - p)
D <- 14/53 * choose(x, 7) * choose(x, 5) * choose(x, 5) *choose(x, 1) * p^1 * (1 - p)

z <- sum(A, B, C, D)

A / z # 0.44743387
[1] 0.4747826
B / z # 0.23965660
[1] 0.226715
C / z # 0.23628681
[1] 0.226715
D / z # 0.07662272
[1] 0.0717874

No.27 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/16 10:23

#26です。

ババを含んでのこり19枚ってことは、18枚は最終的には全て揃うんだから、目は18÷2＝９通りしかないですね。

9通りからユニークがデッキが作れることが尤度関数になるんじゃないかと思います。

No.26 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/15 02:51

#25です。

いやいや、残り19枚ってことは、既に欠落している目もあるかもしれず、常に13通りから選択することができないかもしれませんね。

というのは、間違えた12C6とかの方がシミュレーション結果に良く一致しているからです。

これは、本当に難問です。

No.25 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/15 02:38

再度訂正です。

本当にお許し下さい。トランプは13枚ですよね。

A＝13/53 × 13C6 × 13C5 × 13C5 × 13C2
B＝13/53 × 13C7 × 13C4 × 13C5 × 13C2
C＝13/53 × 13C7 × 13C5 × 13C4 × 13C2
D＝14/53 × 13C7 × 13C5 × 13C5 × 13C1

A/(A+B+C+D)=0.4365672
B/(A+B+C+D)=0.2425373
C/(A+B+C+D)=0.2425373
D/(A+B+C+D)=0.07835821

No.24 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/15 02:23

#23です。

最初の配分を間違えました。深夜なので注意力が散漫になっています。

A＝13/53 × 12C6 × 12C5 × 12C5 × 12C2
B＝13/53 × 12C7 × 12C4 × 12C5 × 12C2
C＝13/53 × 12C7 × 12C5 × 12C4 × 12C2
D＝14/53 × 12C7 × 12C5 × 12C5 × 12C1

A/(A+B+C+D)=0.446576
B/(A+B+C+D)=0.2392371
C/(A+B+C+D)=0.2392371
D/(A+B+C+D)=0.07494981

No.23 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/15 02:14

#18です。

１つの案ですが、7,5,5,2のデッキがババを除いてユニークなカードで構成される場合の数に比例するのではないでしょうか。

A＝12/53 × 12C6 × 12C5 × 12C5 × 12C2
B＝12/53 × 12C7 × 12C4 × 12C5 × 12C2
C＝12/53 × 12C7 × 12C5 × 12C4 × 12C2
D＝13/53 × 12C7 × 12C5 × 12C5 × 12C1

A/(A+B+C+D)=0.4463768
B/(A+B+C+D)=0.2391304
C/(A+B+C+D)=0.2391304
D/(A+B+C+D)=0.07536232

シミュレーション結果に良く一致していると思います。

ご検討をお願いします。

No.22 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/14 21:30

#18です。

ババ抜きのシミュレーションが終わりました。

シミュレーション内容は、以前説明したとおりです。そして残った枚数が7,5,5,2になる場合のみを抽出し、どこにババがあったのか、そのありかを集計しました。

全部で5千万回のシミュレーションを行い、約３万７千ケースの事例を獲得しました。

その結果は、
存在確率は
　　　a　　　　　　b　　　　　　c　　　　　　d
0.44743387, 0.23965660, 0.23628681, 0.07662272

全体が19枚になるように補正すると、
　　a　　　　　b　　　　　c　　　　d
8.501244, 4.553475, 4.489449, 1.455832

残り枚数に完全に比例するかと思っていたところ、
・のこり7枚のデッキにはその比率よりも多く存在し、
・極小枚数しか残らないデッキにはその比率よりも少なく存在する、
という事実が分かりました。

#16さんの２番目の洞察が当たっています。のこり枚数が少なくなるということは、揃う相手の無いババでなく一般のカードが多く存在するからこそ到達しうるのだと・・・。

この数字はかなり正確だと思いますので、数学的に証明するときの参考になると思います。念のため、収束過程のグラフを添付しておきます。

それにしても興味深い問題です。

No.21 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/13 23:04

#18です。

まだ、シミュレーション結果は判明していません。5千万回に増やしたので、まだPCは動いている状態です。これで14時間くらい動いています。相当数の該当ケースが得られると思います。

７枚残っているデッキのババの存在確率が高いことは判明しても、極小枚数のデッキの挙動が不明です。残枚数の比率よりも低ければ、#16さんの洞察が間違っていないことが示されます。

しばらく閉じずに待ってください。お願いします。

No.20 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/13 10:20

#18です。

ご質問者様、#16さんにとっては残念な結果をご報告します。

ババのありかは、単純に手元の残り枚数に比例する可能性が出てきました。

それは次のような検討の結果に基づいています。
シミュレーション結果の中から、手元枚数7,5,5,2のケース（カードが53枚あると、6,4,4,1の結果は生じないので、1枚ずつ増やしました）のみを取り出し、どこにババがあるか調べました。

残り枚数がこの条件に一致するケースは10万回中13回しか生じなかったので、シミュレーション回数を100万回に増やし171のケースを取得しました。（乱数ですので、必ずしも10倍になるわけではありません）

その内訳、ババのありかは、61,48,48,14で、合計を19に基準化すると、
6.777778 5.333333 5.333333 1.555556
ほぼ、残り枚数7,5,5,2に比例しているようです。

現在、1000万回に増やして実行中です（たぶん、夕方まで掛かると思います）

結局、1/53の当選確率を持ったクジと同じなのかもしれません。

この回答へのお礼

とても興味深いです。私は間違っていたようですが、数学的で有意義だったと思います。なぜ間違っていたのかを考えてみます。

お礼日時：2021/07/13 22:29

No.19 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/13 01:39

#18です。

#16さんご指摘のとおり、A,B,Cの３人のうちでは、Aが一番ババを持っている可能性が高いこともシミュレーションで分かりました。

10万回のシミュレーションで、13枚配られた人の、手元に残る枚数の平均は、

ババなし：7.312059枚
ババあり：7.987336枚

同じ枚数配られたのであれば、ババがあった方が残り枚数の平均が僅かですが増えます。よって、A～Cの中では残り枚数の多いAがババを持っている確率は高いと考えられます。

#16さん、すごい洞察です。