A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
a_n < b_n に対して
limsupはいつでもとることができるというのは
limsup(a_n)=∞
または
limsup(b_n)=∞
と
なるときもふくめて
limsupはいつでもとることができるけれども
limsup(a_n)<limsup(b_n)
ではなく
limsup(a_n)≦limsup(b_n)
となるから
sup(a_n)<sup(b_n)
ではなく
sup(a_n)≦sup(b_n)
となる
No.1
- 回答日時:
limsup を「いつでもとることができる」とかとることができないとか
考えるから、話が混乱するのではないですか?
lim は収束するとは限らないが、limsup は任意の実数列に対して
(+∞も値と認めるならば)一意に定まる。 それだけです。
そのことと、
十分大きい n に対して a_n < b_n かつ
lim a_n と lim b_n が収束するならば lim a_n ≦ lim b_n が成り立つ
という定理は、直接関係のない話です。
一般に limsup[n→∞] a_n = lim[n→∞] sup[k>n] a_k ですから、
十分大きい N に対して sup[k>n] a_k < sup[k>n] b_k が与えられているなら
limsup[n→∞] a_n ≦ limsup[n→∞] b_n は言えます。
質問文には sup(a_n) < sup(b_n) とありますが、
説明なしでこの式を見ると
sup[k>1] a_k < sup[k>1] b_k を表しているように見えます。
sup[k>1] a_k < sup[k>1] b_k は、
(十分大きい N に対して sup[k>n] a_k < sup[k>n] b_k)
よりも強い条件です。
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