数列の問題についてです。 画像の（1）の変形の仕方が分からないので、教えてください。

数列の問題についてです。
画像の（1）の変形の仕方が分からないので、教えてください。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/05 14:03

線型漸化式では、解と解の線型結合もまた解になります。

a[n] = f(n) と a[n] = g(n) がどちらも a[n+2] = a[n+1] + 2a[n] の解
だったとすると、定数 A, B を持ってきて a[n] = A f(n) + B g(n) もやはり解です。
初期値は無視して、漸化式だけ満たす f(n), g(n) を見るけることができれば、
A, B の連立一次方程式 a[1] = A f(1) + B g(1), a[2] = A f(2) + B g(2)
を解いて A, B を決めることで、目的の数列 a[n] の一般項が求まります。

何かうまい f(n), g(n) が見つからないか？ と考えるときに
等比数列 f(n) = a r^n を試してみると、漸化式は a r^(n+2) = a r^(n+1) + 2a r^n
となって、整理すれば r^2 = r + 2 です (両辺を a r^n で割る)。
これが、漸化式 a[n+2] = a[n+1] + 2a[n] の特性方程式と呼ばれるものです。
二次方程式を解いて r の値が 2個出てくるので、それぞれを f(n), g(n) の公比
とすれば a[n] = A (r1)^n + B (r2)^n の式が作れますね。

写真の例では、r^2 = r + 2 の解が r = 2, -1 で、
r1 = 2, r2 = -1 とすれば初期条件から A = 5/3, B = 1/3 になります。

魔法のような変形のことは忘れて、この基本的な考え方を知っておきましょう。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2024/03/05 12:19

先程　説明したどうして特性方程式を使ったらできるのかを

差分方程式で説明します
(1)の差分方程式と考え　同次式にすれば
an+2 - an+1 -2 an =0
ここで　an=x^n が解の1つ　とすれば
x^n+2 - x^n+1 -2 x^n =0
ここで　両辺を　x^n で割れば
x^2 -x -2=(x-2)(x+1)=0 ............. ここで特性方程式が出てきましたね！
を満たす x であればすべて解となることがわかりますね。
どんな差分方程式であっても基本解は必ず
隣接3項間であれば2個存在します。
(1)で、基本解が α^n =2^n 　β^n =(-1)^n
と求まりましたね。
実は、基本解同士を何倍かしたものを足した an=C1*α^n + C2*β^n
=C1*2^n + C2 (-1)*n .............................以下に説明！
も同じように解となるのです！
（線形代数用語でいうと、「基本解の1次結合も解となる」といいます。）
さらに解を C倍した　C α^n も解となります。
よって
an=C1*2^n + C2*(-1)^n が一般解となり
このすべて網羅した解のことを一般解と呼びます。
C1,C2はどんな値でもOKな任意定数です。積分定数とかと同じやつだと思ってもらえたらOKです。
あとは　2つの特定方程式から連立方程式としてC1,C2 を求めればいい！
　なお　先ほど行列がいいと言いましたが合成していくときの規則性等によって簡単な場合とそうでない場合があり早くとれけるかもわからないので
必ずしも　早いかどうか　解らないので勇み足としいうことでお詫びします！

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2024/03/05 11:20

(答案には書かないで　an+2→x^2 an+1→x an→定数項とすれば

x^2=x+2 ∴ x^2 -x -2=(x-2)(x+1)で　x=2,-1となるから)
x=2 から　元にもどして
an+2 -2an+1= - (an+1 -2an)=(-1)^n-1 * (a2-2a1)=(-1)^n-1 *1
................(1)
x= -1 から　同じく元に戻して
an+2 +an+1= 2(an+1 +an)=2^n-1 * (a2+a1)=5*2^n
.................(2)
すなわち
(2)*2-(1)から　an+1 を消去して
残ったan+2をan に右辺の指数をなおして調節すれば解となります。
三項間漸化式の解き方の一つ(行列が一番早いかな！)
https://manabitimes.jp/math/697#1
実は漸化式とは大学での差分方程式の解き方の一般解として
高校では特性方程式として答案に書けない裏技のような形での解き方になっています！