経線上、緯線上での距離の求め方

題名の通りですが、経線、緯線上での距離の求め方（公式？のようなもの）を教えてください。
なんとなくは分かる・・・ような気がするのですが、やっぱり分かりません。

確か、何かに１１１を×して出すような式でした。
どなたかお分かりになる方、自分に教えてください。

また、対蹠子午線とは、本初子午線０度の真逆にある１８０度の経線のことであっているのでしょうか？
これも分かる方教えてください。
よろしくお願い致します。

No.7 回答者： puni2 回答日時： 2005/06/22 23:15

No.3およびNo.5の回答に，どうもよく分からない点があったので，No.6を書きました。

既に質問者さんの書かれた問いに対する答えは出ていますので，別に気にしなくていいと言えばいいのですが，検索してここの問答を探し当てて読む人もいるかも知れないと思って，誤解の無いようにしたいと思ったのです。
それから1週間経ちました。
まだお答えをいただけていませんが，いつまでもこのまま置いておいても仕方がないので，適当な時期に締め切っていただいて構いません。よろしくお願いします。

この回答へのお礼

申し訳ありませんでした。
諸事情でパソコンが見られなくなっておりました。皆様に大変ご迷惑をおかけして、本当に申し訳ございませんでした
皆様のご回答とても役に立ちました。

お礼日時：2005/07/08 18:05

No.6 回答者： puni2 回答日時： 2005/06/15 00:05

せっかくお答えいただいたのですが，まだよく分からないところがあります。

No.5:
>間違いではないですね。ただ赤道以外の緯線では距離を出せないという意味で書いています。

「間違いではない」ということは，同緯度にある2地点間を，緯線に沿って測ったときの長さを求める近似式は，No.2で書いたのでよい，ということですね？（確認）

「距離を出せないという意味で」とおっしゃっていますが，
「距離」という用語は「大圏距離」の意味で使うべきであって，質問文にあるように「緯線上での距離」とか「緯線に沿って測った距離」などと言うのは誤りなのでしょうか？（質問）

確かに，2地点間を結ぶ小圏上の距離は一意に求まりませんが，今の場合「緯線上」という制約があるわけですから，その場合は求まりますよね。
「距離」という用語を使った以上，「緯線上」という修飾語は無視すべきなのでしょうか。

今まで何も気にしないで使ってきましたが，不安になってきました。

>ＵＴＭ図法では、横に円筒を被せて投射するので、その経度の近傍でしか投影できません。
これは知っています。
日本の2万5千・5万分の1の地形図はUTM投影であることも知っています。

>となりの地図の格子とはつながりません。したがってＵＴＭ図法の地図は５万分の１などの地形図にしか使用できません。

ここが分からないのです。
5万分の1の地形図は（日本の場合），1枚の図面に収まっている範囲は経度差15′，緯度差10′です。
一方，日本で用いているUTMでは（外国も基本的に同じだと思いますが），中心子午線から東西に3°ずつ（つまり6°の幅）の範囲内では，同じ円筒を用いますから，東西方向に24枚の5万分の1地形図が並ぶ計算になります。
その経度帯の中に含まれる地形図であれば，隣同士の地形図でも，同じUTM座標を用いることになるのではないかと思うのですが…
参考URLに示したページ（カシオのサイト）の説明を読んでも，同一のゾーンに属している地点では一つの座標系を使うように読めます。

参考URL：http://www.casio.co.jp/gpsw/faq_c04.html

No.5 回答者： SCNK 回答日時： 2005/06/06 19:39

「それではその求め方を書いた私の回答は誤りということでしょうか。

」

間違いではないですね。ただ赤道以外の緯線では距離を出せないという意味で書いています。

「同じUTM座標系に属する範囲であれば，どの地図でも同じ格子ではないのでしょうか。」

ＵＴＭ図法では、横に円筒を被せて投射するので、その経度の近傍でしか投影できません。となりの地図の格子とはつながりません。したがってＵＴＭ図法の地図は５万分の１などの地形図にしか使用できません。（無理に大きな範囲で作成すると通常のメルカトル図法のように端の歪みが大きくなりすぎます。）

No.4 回答者： puni2 回答日時： 2005/06/05 23:56

No.4の回答で

>経線および０度の緯線に沿っての距離は求められますが、それ以外は求められません。
と書かれましたが，それではその求め方を書いた私の回答は誤りということでしょうか。

>なぜならこれ以外は大圏ではなく小圏だからです。

と書かれましたが，それは承知しています。
だからこそ，No.2で

>(1)はそのまま「2地点間の最短距離」になりますが，
>(2)は必ずしもなりません（赤道上ならなります）。

と書いたのです。
質問された方は，「経線、緯線上での距離」とのみ書かれていて，必ずしも最短距離とは書かれていません。
No.4の回答者さんは，「距離といったら球面上の最短距離に決まってるじゃないか」とお考えなのかも知れませんが，専門用語としての適否はさておき，質問文を素直に読めば，質問者の意図は，経線や緯線に沿って測りたいのだ，と解釈するのが自然な読み方ではないでしょうか。
それとも，そういう測り方をする場合であっても，私の示した式(2)は誤りでしょうか。
（もしかして私，何か重大な思い違いをしてたりするんでしょうか。不安になってきました。）

>ただし隣接する地図同士では格子は共通ではありません。
これもよく分からないのですが，同じUTM座標系に属する範囲であれば，どの地図でも同じ格子ではないのでしょうか。

さらに言えば，緯度の等しい2地点間を結んだとき，緯線に沿って測った距離と，大圏距離とで，両者の差が無視できないくらい大きいのなら，そもそもUTM座標ではなく球面三角法で求めたほうがよいのではないでしょうか。

No.3 回答者： SCNK 回答日時： 2005/06/04 21:34

経線および０度の緯線に沿っての距離は求められますが、それ以外は求められません。

なぜならこれ以外は大圏ではなく小圏だからです。

経線上で１分は１海里に相当します。ｋｍに直すと１．８５２ｋｍです。

どうしても座標で任意の地点の距離を求めたい場合は、ＵＴＭ（ユニバーサル横メルカトル）図法の地図（国土地理院の地形図も、そう。）を用います。本来、ＵＴＭ座標の地図にはＵＴＭ座標があるのですが、日本の国土地理院製の地図だけにはなぜかないのです。（自衛隊の地図にはあります。）しかし縦横に格子を入れればＵＴＭ座標になります。これならば縦横ともｍで距離を出せますし、三平方の定理から斜め方向へも距離を割り出せます。すべて数値で位置を明示することもできます。ただし隣接する地図同士では格子は共通ではありません。

No.2 回答者： puni2 回答日時： 2005/05/27 10:25

最初にお断りしておきますと，この手の公式は，どのくらい正確に求めるかによって変わってきます。

うんと精密に計算しようとすると，計算式だけで何十行にもなってしまいますが，とりあえず，地球は完全な球であると見なして，また有効数字は3桁程度で求まればよいことにすれば，簡単な公式で書けますので，ここではそれでいきましょう。

と前置きしておいた上で，おたずねの式ですが，次のようになります。

(1) 同一経線上での2地点間の距離＝（緯度差）×111km
(2) 同一緯線上での2地点間の距離＝（経度差）×111km×cos（緯度）　（ただし緯線に沿って測った場合）

出し方は次のようになります。
まず，地球は一周4万kmの完全な球と見なします。
本当は，南北に一周すると40004km，赤道上を一周すると40075kmぐらいです。
もともとは，南北一周がぴたりと40000km（つまり北極～赤道がちょうど1万km）になるように1mの長さを決めたはずでしたが，測量に誤差があったのでずれてしまいました。

北極から赤道までは緯度差が90°あるので，緯度差1°あたりの距離は，1万÷90＝111(km)　となります。

次に，緯線に沿って測る長さの方ですが，たとえば北緯40°の緯線に沿って一周すると，円ができます。
この円の半径は，赤道半径のcos40°倍になります（地球を南北に切った断面を考えれば分かる）。
したがって，一周の長さもcos40°倍。あとは経度差で比例配分です。

注意点として，(1)はそのまま「2地点間の最短距離」になりますが，(2)は必ずしもなりません（赤道上ならなります）。つまり，緯線に沿って測ると遠回りになるということです。

あと，単に「緯度差」「経度差」と書きましたが，北緯30°と北緯40°なら緯度差は10°，北緯30°と南緯40°なら緯度差は70°，というのはお分かりになりますか。
（緯度の意味が分かっていないと，「数字を足すの？引くの？」なんていう質問が出たりするのですが，大丈夫ですね？）

この簡略公式でどのくらい正確に求まるのか，気になる方は，先日別の質問で計算してみたことがあるので，そちらの回答をご覧下さい。
「質問：北緯30から北緯40度の距離」
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1392264

なお，対蹠子午線とは，「ある子午線と180°反対側にある子午線」です。グリニッジの裏側とは限りません。
たとえば，東経140度の経線に対する対蹠子午線は，西経40度です。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1392264

No.1 回答者： samtyan 回答日時： 2005/05/26 14:55

極から赤道までの距離が、約10000キロメートル。

緯度で　90度です。
よって、緯度１度につき、
約１１１キロメートル。

１１１×（緯度差）＝経線上の距離
でしょうか。