電気回路の豆電球

Question

電子科の友人に聞いた話なのですが、電気回路中に複数の豆電球があった場合、その電球の点灯する順番を非常に厳密に比べると、その順番は回路の流れとは無関係に電源との同心円状に見たときの距離によって決まるというのは本当なのでしょうか？


たとえば、

　[豆電球１]―――――――――[豆電球２]――
| 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
| 　　　　　 　　　――――――――――――――
[電源]　　　[豆電球４]
| 　　　　　 　　　――――――――――――――
| 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
　――――――――[豆電球３]―――――――


という回路があった場合、電球がつく順番は電源の＋－に関わらず
１と４が同時＞３＞２
の順番だというのです。

もし本当なら理論を詳しくご存知の方、違うのなら本当の順番を教えてください。

vq100mg · Accepted Answer

豆電球の点灯の順番は、ご友人の仰る通り、１と４が同時＞３＞２　で概念的に正しいです。

　[豆電球１]―――――――――[豆電球２]――
| 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
| 　　　　　 　　　――――――――――――――
[電源]　　　[豆電球４]
| 　　　　　 　　　――――――――――――――
| 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
　――――――――[豆電球３]―――――――

上図の幾何構造を針金で組めばそうなるでしょう。ただし、この形では４本の電線の間に電磁界の結合があるので、説明が大変です。主旨が変化せぬ範囲でエッセンスを残して、モデルを簡単にしましょう。４本の電線を、上の２本と下の２本に分けて考えます。それぞれは伝送線路と呼ばれるものになります。現実的には電源コード、あるいはツイストペア線のようなものです。伝送線路を形成する２本の線の間隔に対し、他の伝送線路までの間隔が大きければ、２つの伝送線路の間に干渉はほとんどありません。

　[豆電球１]―――――――――[豆電球２]――
| 　　　　　 　　　　　伝送線路１　　　　　　　　　　　　　|
| 　　　　　 　　　――――――――――――――
|　　　　　　　　　|
[電源]　　　[豆電球４]
|　　　　　　　　　| 
| 　　　　　 　　　――――――――――――――
| 　　　　　 　　　　　伝送線路２　　　　　　　　　　　　　|
　――――――――[豆電球３]―――――――

電気というエネルギの伝わり方を正確に表現しますと、電線の中を電子が流れる事によって伝わるのではありません。エネルギはペアの導体に挟まれた空間を伝わるのです。ポインティング・ベクトルと言います。ペアの導体の役目は電磁エネルギを溝のように拘束するガイドレールであって、拘束する為に電子の流れ、つまり電流が生じるのです。伝送線路にエネルギを送り込む時、ペアの片方に電流が流れていて、他方に流れていないなどという状況は有り得ません。つまりエネルギの伝わる方向と、電流あるいは極性とは何の関係もありません。伝送線路に繋いだ電源をＯＮすれば、エネルギが光速あるいは近い速度、で伝送線路の入り口から奥へ徐々に満たされていきますが、その区間においてのみ電線にペアで仲良く反対方向の電流が生じるのです。

これで、１＞３＞２　の点灯順が説明できたと思いますが、豆電球４について補足しておきましょう。
伝送線路に電圧を掛けた瞬間、伝送線路は抵抗に見えます。特性インピーダンスZoと言い、電源コードやツイストペア線だと、100Ωのオーダーです。電源を立ち上げた瞬間、豆電球４を主体にした回路は、次のように書けます。

　[豆電球１]――
|　　　　　　　　　|
| 　　　　　  [抵抗Zo]　
|　　　　　　　　　|
[電源]　　　[豆電球４]
|　　　　　　　　　| 
| 　　　　　  [抵抗Zo] 
|　　　　　　　　　|　
　―――――――　

従って、豆電球１と４は同時、そして、この図の分圧で抵抗Zo両端に生じた電圧が伝送線路の中に伝播していきます。伝播にしたがって電流がペアで流れている部分は奥へと進み、それに応じて他の豆電球がついていくということです。

なお、「豆電球というのは比喩でただ電流の流れる順番・・・」と仰ってますので、詳細は割愛しますが、上の説明はエネルギの「第一波」の到着時刻に関するものです。豆電球に掛かる電圧は決して第一波で安定するものではありません。それは豆電球の抵抗による伝送線路の不整合と、短絡終端された伝送線路の反射によって生じます。

fjnobu · Answer

No2です。問題が難しくなっているようです。
アースを考えるのは、伝送線路上に分布容量があるからです。
それを考えに入れなければ、全ての電球は同時に点灯します。
なぜなら、電気は電位と電流は同時に全てに与えられからです。電子の動きが電流になるのではなく、電磁の動きが電流と共に動きます。
電球の点灯は電圧と電流の乗算で発生します。それは直列回路上の全ての負荷に同時に与えられます。
他の条件を色々と考えるから順序が出来る訳です。

vq100mg · Answer

＞　そもそも私は豆電球と電源でできた回路にアースが必要、という時点がすでにむずかしくて・・・

アース、GNDは、必要ありません。

オリジナルの図から連想される幾何構造のもの、すなわち「４本の導線が電磁界的に結合」または「上下２本づつ２組がそれぞれ別に電磁界的に結合」して、少なくとも分布定数回路（伝送線路）となっていれば問題は完備しています。その条件で有意義な解を得る為に不足はありません。電磁気学的に何ら違反はなく不都合や矛盾は生じません。そして点灯の順番は、いずれも １＞４＞３＞２ です。

アース、GNDを考える必要はありませんが、「現実に実験装置を作ると仮定するなら」例えば大地など他の導体の影響を考慮せねばなりません。ただし、それを考察しても、よほど意地悪をしない限り順番は、１＞４＞３＞２ から変化しません。

この問題はご友人のオリジナルでしょうか。電球３や２より４が先に点灯するという意外さが啓蒙のポイントだと思います。「順番は回路の流れとは無関係に電源との同心円状に見たときの距離によって決まる」という一文がありますが、正確さに欠けるものの、特徴を語っています。

fjnobu · Answer

No2です。
更に条件を変えて回答します。
電源のマイナス側が大地にアースされている状態で、プラス側にスイッチを付けて、接続すれば、１、２、４，３の順に点灯します。
マイナス側（豆電球３と電源のマイナスの間）にスッチがあると３，４、２，１の順になります。
これは、線を1本として、線には固有のL分と抵抗分が有り、大地の間で浮遊容量があるという条件です。
いずれにしても、時間の差は線の長さにもよりますが、僅かであり、豆電球の点灯時間の誤差のほうが大きいです。

nrb · Answer

回答ありがとうございます。
非常に厳密な考え方では、電源のプラス側のほうが早く点灯するということですか

おおーーい便宜上電流の流れはプラス→マイナス
だけど
実際の電子の流れはマイナス→プラス
だよ

だから
マイナス側からつくの

http://www.e3.panasonic.co.jp/communication/electric/denchi/denchi-03.html

vq100mg · Answer

＞私の出した回路では１＞４＞３＞２というのが最終的な回答ということですか。

点灯順序は、１＞４＞３＞２　で良いように思いますが、ひとつご注意を。ご提示の図には寸法や位置関係の明確な記入がないので、それが混乱の原因になるという事です。例えば、もしそれが「回路図」ならば、すべて同時としか言えません。遅れを発生させるような回路素子が見当たらないからです。私が「１と４が同時＞３＞２」を前提・題意と考え、「図形」にふさわしい幾何構造の伝送線路を補っていることに気をつけてください。

ところでオリジナルの図に示されていないが、現実には必然となってくるであろう導体、すなわち他の回答者さんの仰るところの地面、接地、アース、バックプレーンがあった場合の現象については以下のように考えております。それらをGNDと表記する事にします。

ANo.7、ANo.14　さんの仰る
a. 電源の電球1側にスイッチが付いていれば、1→2→3の順、
b. 電球3側にスイッチがついていれば、3→2→1の順
を達成する条件を考えてみましょう。

エッセンスとして、
　――――――――――[豆電球２]――
|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
[電源]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
　――[豆電球３]――――――――――

という問題があったとします。GNDが無いとすれば、上下２つの導線は伝送線路を形作っていると考えるのが、出題意図として妥当でしょう。（次図）

Ａ――――――――――[豆電球２]――
|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
[電源]　　　伝送線路　　　　　　　　　　　　　|
|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
Ｂ――[豆電球３]――――――――――

この場合、スイッチの場所がＡにあってもＢにあっても、点灯順序は、電球３、電球２です。

GNDを意識する場合の好対照は、上下２つの導線間の結合がなく、それぞれGNDとの間で伝送線路を形作っている場合でしょう。（次図）

Ａ―――――――――――[豆電球２]――
|　　　　　　伝送線路Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　|
|　　　　　　　――――――――――――　　　　|
[電源]　　　|　　GND　　　　　　　　　　　　　|　　　　|
|　　　　　　　――――――――――――　　　　|
|　　　　　　伝送線路Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　|
Ｂ――[豆電球３]―――――――――――

この場合も、スイッチの場所によらず、点灯順序は、電球３、電球２で変わりありません。理由は次の通りです。遠端からの反射が届く以前という条件付で等価回路は次図のようになります。

Ａ――――――
|　　　　　　　　　　　|
| 　　　　　　　　 [抵抗Zo]　
|　　　　　　　　　　　|
[電源]　　　　　　　|
|　　　　　　　　　　　| 
| 　　　　　 　　　[抵抗Zo] 
|　　　　　　　　　　　|　
Ｂ――――――

それぞれの伝送ラインには電源電圧を二分した電圧が加わります。スイッチがＡにあろうとＢにあろうと違いはありません。例えばスイッチがＡにある場合、伝送線路Ａにのみステップ電圧が加わるように思えるのは錯覚です。Ａを閉じた瞬間流れ出る電流はＢから引き抜かれます。電源電圧をＶとし、特性インピーダンスが等しいと仮定するなら、GNDを基準にして豆電球２の線にV/2、豆電球３の線に-V/2の電圧が入射されることになります。なおこれらは、全体が帯電しているかどうかには影響されません。帯電電位はスイッチＯＮ時のΔ分を発生しません。豆電球２や３、電源の対GND初期電位による過渡応答は発生しないようです。

スイッチの場所によって点灯の順番が違うための因子は、豆電球２や３がつながれた導体とGND間の静電容量にも増して、電源のGNDに対する接続の仕方にあるように思います。下図のように電源が２系統になっていて、それぞれGNDに接続されていれば、Ａのスイッチでは電球２が先、Ｂのスイッチでは電球３が先というふうになります。

Ａ―――――――――――[豆電球２]――
|　　　　　　伝送線路Ａ　　　　　　　　　　　　　　　|
[電源]　　――――――――――――　　　　|
|　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　|
|―Ｋ――|　　　　　GND　　　　　　　　　　　|　　　|
|　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　|
[電源]　　――――――――――――　　　　|
|　　　　　　伝送線路Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　|
Ｂ―――[豆電球３]――――――――――

ただしGNDに接続する共通インピーダンスＫは零でなければなりません。その有限の度合いにしたがってＡ点スイッチＯＮ時の影響がＢ点へ、Ｂ点スイッチＯＮ時の影響がＡ点へ、ステップ電圧として及ぶようになります。Ｋが零でない限り、スイッチがＡでもＢでも、（電流強度の差はあれ）豆電球３が先という結論は変わらないようです。それは、電源を１系統とし、その両端子とGND間の静電容量を仮定し、さらにはアンバランスにしても、点灯順位を覆せないことをも意味していると思います。

foobar · Answer

この問題は、問題に書かれていない部分の条件をどのように設定するかで、結果が大きく影響されると思います。
気が付いたところでは、

1.電源の電位
1-a 電源の電位は変動しない（線路に比べて充分な静電容量などがあり、電位が安定している）
1-b 電源の電位は変動する（線路に比べて静電容量が小さく、電位が変動する）

2. 線路の配置
2-a 電線が充分（それぞれの線路は単独導体として扱える程度に）はなれて配置されている。
2-b 電線が近接して配置されている
（4本電線が張られているので、近接、離れている　の組み合わせが8通り程度できます）

3. どの程度の電流で、電流が流れた（ランプがついた）と判断するか
3-a 電線を極限まで細くしたりしたときに、電流が0に近づく（極限が0になる）場合には、電流は流れていないとする
3-b 電流の極限が0に漸近しても、電流は流れているとして取り扱う

#7は
1-a, 2-a(部分的に2-b), 3-a を念頭においてます。

foobar · Answer

#7です。
若干コメント、
スイッチのついてる側を気にするのは、(細かいことを言えば）初期状態で線路の電位がどうなっているか、が影響するから。
（ただ、電位の基準点が無限遠なのと、電源の電位がどうなってるか、というのが、難、、）

両側のスイッチが切れていて、（このとき、導体は、とりあえず無限塩と同電位の０とすると）となっていて、片側のスイッチを入れると、電源の電位になるまで導体を充電する電流が流れますよね。
（孤立導体でも、無限遠に対しては静電容量（電荷/電位）があるので）

基準電位が無限遠なんでイメージしにくいのですが、導体の背後に電位0のバックプレーンを置けば、イメージしやすいかと。
（で、バックプレーンをどんどん遠方に持っていくと）

fjnobu · Answer

ANo2です。
条件を変えて、再度回答させていただきます。
条件は、有限な長さの１本の銅線でランプを直列に接続しているとします。銅線には分布定数でＬ分とアースに対してＣ分が発生します。
そうすると、電池の＋側に近い方から順に点灯します。スイッチが＋側でもー側でも同じです。
但し、時間の差さは非常に僅かで１本を１００Ｋｍとしても、ランプの同士の点灯時間の誤差に比べると小さいもです。

vq100mg · Answer

いくつか質問をいただきました。以下のように考えてはいかがでしょう。

電球１と４が同時に点灯するというのは、題意に則し、下図における伝送線路０の長さを零としているからです。伝送線路０が長さをもつならば、仰る通り、点灯は豆電球１＞４＞３＞２となります。

　　　　　　　　　　　　　　――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　|
　　　　　　　　　　　　　　|
　[豆電球１]―――　　　　　　伝送線路１
|
|　　　　　　　　　　　　　　―――――――――――――
|　　　　　　　　　　　　　|
[電源]　　　　　　　[豆電球４]
|　　　　　　　　　　　　　| 
|　　　　　　　　　　　　　　―――――――――――――
|　伝送線路０
　――――――――
　　　　　　　　　　　　　　|　　　　伝送線路２
　　　　　　　　　　　　　　|
　　　　　　　　　　　　　　――――――――――――――


豆電球４が点灯する瞬間の電流の経路を書き入れてみましょう。

　[豆電球１]―――――――――――――――――
|――――――＞―――
|　　　　　　　　　　　　　　　　|
|　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　伝送線路１
|　　　　　　　　　　　―＜―
|　　　　　　　　　　　|　―――――――――――――
|　　　　　　　　　　　　|
[電源]　　　　　　　　　[豆電球４]
|　　　　　　　　　　　　| 
|　　　　　　　　　　　|　―――――――――――――
|　　　　　　　　　　　―＞―
|　　　　　　　　　　　　　　　　|
|　　　　　　　　　　　　　　　　|　　　伝送線路２
|――――――＜―――
―――――――――――――――――――――――

電流は伝送線路の入り口付近で変位電流として閉路を作ります。それで豆電球４は点灯できるのです。
変位電流の位置は光速に近い速度で奥に進みますが、その間（正しくはその２倍の時間）、豆電球４および１の電流は一定です。その後の現象の理解の為には、インピーダンス・マッチング(整合)、入射波、反射波など予備知識が必要です。

＞特性インピーダンスというのは電流の流れには影響しないのですか？

意味がうまくつかめませんが、特性インピーダンスとは伝送線路の幾何構造によって定まるものです。上図のような電流状態におけるペア線の線間電圧を電流で除した値でもあります。「電流の流れには影響しないのですか」というのが第三の導体、たとえば大地を意味するなら別の駆動モード（電圧の掛け方）に対する特性インピーダンスも存在（定義）できます。

＞豆電球の光る条件と、回路の抵抗に電圧がかかる（もしくは電流が流れる）条件というのは別物なのでしょうか？

豆電球は抵抗ですから同一です。「光る」というところが微妙ですが題意をくめば同一でしょう。

＞豆電球１と４が同時に光るとするとこれはポインティング・ベクトルではなくやはり同心円状にエネルギーが伝わっているように思えます。

「エネルギは同心円状に伝わる」の正確なイメージが掴めませんが、今回のような場合の適切な表現としては、「エネルギは２導体で構成された伝送線路中を突き進む（正確には中ではなくマトワリついて進む）」です。その通路の電磁界がポインティング・ベクトルを構成しており、エネルギの分布、伝わり方、方向を示しているのです。

　―――――――――――――――――
| ―――＞―――――――――
|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
電源　　　エネルギ　＞＞＞　　　　| 変位電流
|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
| ―――＜―――――――――
　―――――――――――――――――

電気回路の豆電球

豆電球の点灯の順番は、ご友人の仰る通り、１と４が同時＞３＞２ で概念的に正しいです。

No2です。

＞ そもそも私は豆電球と電源でできた回路にアースが必要、という時点がすでにむずかしくて・・・

No2です。

回答ありがとうございます。

＞私の出した回路では１＞４＞３＞２というのが最終的な回答ということですか。

この問題は、問題に書かれていない部分の条件をどのように設定するかで、結果が大きく影響されると思います。

#7です。

ANo2です。

いくつか質問をいただきました。

似たような質問が見つかりました

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

関連するカテゴリからQ&Aを探す

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

豆電球の点灯の順番は、ご友人の仰る通り、１と４が同時＞３＞２　で概念的に正しいです。

＞　そもそも私は豆電球と電源でできた回路にアースが必要、という時点がすでにむずかしくて・・・