アキレスと亀

あるところにアキレウスと亀がいて、二人は徒競走をすることとなった。しかしアキレウスの方が足が速いのは明らかなので亀がハンデをもらって、いくらか進んだ地点（地点 A とする）からスタートすることとなった。
スタート後、アキレウスが地点 A に達した時には亀はアキレウスがそこに達するまでの時間分先に進んでいる（地点 B）。アキレウスが今度は地点 B に達したときには亀はまたその時間分先へ進む（地点 C）。同様にアキレウスが地点 C の時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレウスは亀に追いつけないことになる。

これは正しいでしょうか。

No.7 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/12/31 22:59

アキレウスが秒速１０ｍ、亀が秒速１ｍで進むとして、亀は最初アキレ

ウスより１０ｍ前にいるとする。
アキレウスが最初に亀がいたところに達するまでに１秒かかる。
その間に亀は１ｍ進んでいる。
次にアキレウスが亀のいたところに達するまでに０．１秒かかる。
その間に亀は０．１ｍ進んでいる。
次にアキレウスが亀のいたところに達するまでに０．０１秒かかる。
その間に亀は０．０１ｍ進んでいる。
これを繰り返して、アキレウスが亀のいたところに達する時間を合計
すると、１．１１１・・・秒＝１０／９秒である。
つまり、１０／９秒未満ではアキレウスは亀に追いつけないが、
１０／９秒で亀に追いつき、追い越す。
アキレウスは亀に秒速１０－１＝９ｍの等速で亀に近づくので、
１０／９秒後に亀に追いつくと考えても同じ。
アキレウスが亀のいたところに達する時間を合計して、これが無限大
ならば、アキレウスは亀に永遠に追いつけないが、時間の和が有限の
値に収束するので、アキレウスは亀にいずれ追い付くことになる。
秒速１０ｍ、１ｍの例でなくても、アキレウスが秒速ｘｍ、亀が秒速
ｙｍとして、ｘ＞ｙならば、最初に亀が何ｍ先にいても、アキレウスが
亀のいたところに達するまでの時間の合計が有限の値に収束することが
確かめられる。
普通に考えても、秒速（ｘ－ｙ）ｍの等速で亀に近づくので、いずれ
亀に追いつき、追い越す。
紀元前あたりでは、数を無限個足せば当然無限大になるという誤った
認識があったのか？
似たようなものに、湖を歩いて渡るのに、片方の足が沈む前に次の足を
出せば良い、などというのがありますね。

No.6 回答者： proto 回答日時： 2007/12/31 21:05

＃１の方の回答がズバリですね。

これは正しいでしょうか？ということですが、
論証自体は正しいです。
しかし、そこから導かれる結論が何を意味しているのか、慎重に汲み取らなければなりません。
結論を誤解するとこの話自体がトンドモのように感じてしまいます。

このアキレスと亀の論証で言われれているのは、時間と空間をいくらでも細かく分割して考えることができるならば、
(＃１様の云うように)追いつくその瞬間までは追いつけないということです。


ちなみに、この論証はゼノンのパラドックスという有名なパラドックスの一つです。
本来は4つセットのパラドックスです。
もっと深く味わいたいなら、残りの3つについても考えてみることをおすすめします。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E% …

No.5 回答者： banakona 回答日時： 2007/12/31 16:52

＞この考えはいくらでも続けることができ、・・・

と

＞・・・結果、いつまでたってもアキレウスは亀に追いつけないことになる。

の間に論理の飛躍があります。
「この考え」はいつまでも続けることができますが、アキレウスが亀のいた位置まで行くのに掛かる時間は短くなっていきます。ぞの時間をどんどん加えていっても、∞にはなりません。

「この考え」は、アキレウスが亀に追いつくのに掛かる時間よりも前の時間で展開しているに過ぎません。

参考URL：http://gorishugi.jugem.jp/?eid=67#sequel

No.4 回答者： kmasacity 回答日時： 2007/12/31 16:21

結果は「正しくない」です。

浅学ですので明快にこれだとはいえないのですが、頭の中で亀とアルキメデスを移動させれば、追いつくのは明らかでしょう？

では具体的にいつ追いつくかを計算してみましょう。

亀の速度：a
アルキメデスの速度：ｂ
亀がAまでかかった時間：ｔ
追いつかれる距離：L

Aまでの距離は
at・・・(1)
AからBまで亀が移動するのにかかる時間は、Aまでの距離をアルキメデスの速度で割ると
at/b・・・(2)
よってAからBの距離は(2)に亀の速度をかけて
（at/b）×a・・・(3)
同様にしてBからCまでの距離は(3)/b×aで
（（at/b）×a）/b×a・・・(4)

このようにしてCからD、DからE・・・と計算していったものを足したものがLになります。(1)＋(3)＋(4)＋・・・を整理すると

L＝at（１＋a/b＋(a/b)^2＋(a/b)^3＋(a/b)^4・・・無限に足す）・・・(5)

したがってこの()内は「等比数列の和」ですので、公式より

L＝at((a/b)^(n＋1)ー１)/(a/b－１)をnを無限にしたもの・・・(6)

ここで、亀＜アルキメデスより

a/b＜１

です。なので、(6)式のｎを無限にすると分子はー１のなりますので、整理して、

L＝at/（1ーa/b）・・・(7)

と求めることができます。
-------
(7)式を使うと、たとえば亀の速度が１、アルキメデスの速度が２、亀がAまでかかった時間を１として代入すると

L＝２となります。（これはイメージできるのではないでしょうか）

No.3 回答者： noname#46750 回答日時： 2007/12/31 16:09

（アキレスがスタート地点から地点Ａに到着するまでの時間）

＞（アキレスが地点Ａから地点Ｂに到着するまでの時間）
＞（アキレスが地点Ｂから地点Ｃに到着するまでの時間）
・・・・・・

時間の総和はある一定の値に近付く。すなわち時間は無限大ではない。

したがって、アキレスと亀の話は時間が無限大にない（時間は有限である）という事を仮定している。

（数学の言葉を使えば、もう少しうまく説明できるのですが……）
ちなみに入門微分積分（三宅敏恒　著、培風館）でアキレスと亀の話を数学的に説明しています。大学数学の本ですが。

No.2 回答者： poi9ppo 回答日時： 2007/12/31 14:38

こんなものもありますね。

飛んでいる矢は止まっている
矢が飛んでいる様子を考えよう。ある瞬間には、矢はある場所に位置している。僅かな時間だけに区切って見れば、矢はやはり少ししか移動しない。
この時間をどんどん短くすれば、矢は動くだけの時間がないから、その瞬間だけは同じ場所に留まっているであろう。
次の瞬間にも、同じ理由でやはりまた同じ場所に留まっているはずである。
こうして矢は、どの瞬間にも同じ場所から動くことはできず、ずっと同じ場所に留まらなくてはならない。
従って、飛んでいる矢は止まっている 。

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/12/31 14:11

>いつまでたってもアキレウスは亀に追いつけないことになる。

「いつまでたっても」が引っ掛けみたいですね。
「亀に追いつく瞬間までは」追いつけない、のでしょう。