なぜ答えがこうなるのかわかりません・・・

この問題なんですが・・・
ある商品は1個から100個まで200円で、101個から500個まで183円です。
501個以降は160円。

この商品をn個買ったときの1個あたりの平均が188円となったとき、nにあてはまる数を答えよ。

答えは（200-188）×100＝1200
　　　　1200÷（188-183）＝240
　　　　240+100＝340
340円らしいんですが、なぜそうなるのですか？
理由が知りたいです。方程式等でも結構です。

No.9 回答者： Knotopolog 回答日時： 2008/09/26 11:19

＃7,8 です．勘違いしていたようです．

200円の商品を100個と，183円の商品をB個買うとしますと，
この平均値は，

(200×100+183×B)/(100+B)

です．この平均値が188円になるとの問題ですから

((200×100+183×B)/(100+B))=188

です．これを解くと

200×100+183×B=188×(100+B)

(200×100)+(183×B)=(188×100)+(188×B)

(200×100)-(188×100)=(188×B)-(183×B)

(200-188)×100=(188-183)×B

12×100=5B

12×20=B

B=240

この 240 に 100 を加えて 340 になります．
したがって，質問に書いてある答え：

答えは（200-188）×100＝1200
　　　　1200÷（188-183）＝240
　　　　240+100＝340

の意味がお分かりのことと思います．
ちなみに，200円の商品と，183円の商品と，160円の商品のすべてを
買って，しかも1個あたりの平均が188円になる場合を計算しましたが，
この場合は答えがありません．

No.8 回答者： Knotopolog 回答日時： 2008/09/25 18:01

＃7です．A,B,C は

A=5p+7q
B=12p+28t
C=3q-5t

と簡単に表せることが分かりました．p,q,t は正の整数です．
p=1, q=2, t=1 とすると，n=60 になり，これは，
200円の商品が 19個で，183円の商品が 40個で，
160円の商品が 1個で平均が188円になります．

No.7 回答者： Knotopolog 回答日時： 2008/09/25 16:44

最小の n は，54個です．

200円の商品が24個で，183円の商品が24個で，
160円の商品が6個で平均が188円になります．

答えの n は沢山あるようです．例えば， n が，216個．これは，
200円の商品が96個で，183円の商品が96個で，
160円の商品が24個で平均が188円になります．

答え(n)の種類は，恐らく無限個（可算個）あるかも知れません．

この問題の数式をたてて解いて行きますと，不定方程式になります．
その解は，
200円の商品の個数を A，183円の商品の個数を B，
160円の商品の個数を C とすると，

A=b(5c+7e)+g(5d+7f)
B=12(bc+dg)+28(de-cf)
C=3(be+fg)-5(de-cf)

で与えられます．b,c,d,e,f,g は，正の整数または，実数で，要は，
A,B,C がいずれも正の整数になれば良いのです．

b=c=d=e=f=g=1 とすると A=24, B=24, C=6 で n=A+B+C=54

b=c=d=e=f=g=2 とすると A=96, B=96, C=24 で n=A+B+C=216

になります．また，

b=c=d=e=f=g=3 とすると A=216, B=216, C=54 となり n=A+B+C=486 で，
これも平均が188円になります．

上の式から，

(200A+183B+160C)/(A+B+C)を計算すると，188 になります．

質問にある解き方
　（200-188）×100＝1200
　1200÷（188-183）＝240
　240+100＝340
はよくわかりません．

No.6 回答者： noname#70519 回答日時： 2008/09/24 10:54

原点を通って増加する折れ線のグラフを頭に描きます。

横軸は個数（x個）、縦軸（y円）は合計額です。

一つ目の折点は、(100,200・100)、
　x≦100 の時、合計額は、y=200・x
　　一個あたりの平均は、y/x=200

二つ目は、{500,200・100+183・(500-100)} で、
　100≦x≦500 の時、合計額は、y=200・100+183・(x-100)
　　　　　　　　　　　　　　　 =183・x+1700
　　一個あたりの平均は、y/x=183+(1700/x)

　500≦x の時、合計額は、y=200・100+183・400+160・(x-500)
　　　　　　　　　　　　　=160・x+13200
　　一個あたりの平均は、y/x=160+(13200/x)

1個あたりの平均（188円）がどこに位置するか？
　100＜x であることは明らか、
　x=500 の時、y/x=186.4　なので、100＜x＜500　となる。
そこで、y/x=183+(1700/x) の左辺に、188 を代入すると

188=183+(1700/x)
5x=1700 より、x=340

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2008/09/23 22:07

こんばんは。

私は、その模範解答のやり方は嫌いです。

値段の合計／個数　＝　平均の値段
という基本の式から忠実にたどっていくほうがよいと思います。
（そういう考え方をしたほうが、上の学校に上がった時に応用が利くし、社会に出てからも役に立つ。）


仮に１００個以内（ｎ≦１００）なら、平均の式は、
（２００円／個×ｎ個）／ｎ個　＝　１８８円／個
約分して
２００円／個　＝　１８８円／個
これはありえない。
だから、ｎ＞１００

仮に１０１個以上５００個以内（１０１≦ｎ≦５００）なら、平均の式は、

（１００個までの値段合計　＋　１０１個からの値段合計）／個数
　＝（２００円／個×１００個　＋　１８３円／個×（ｎ－１００個））／ｎ個　＝　１８８円／個
これを解けば、
２００００　＋　１８３ｎ　－　１８３００　＝　１８８ｎ
５ｎ　＝　１７００（個）
ｎ　＝　３４０（個）
これは、１０１≦ｎ≦５００　の条件に合うので合格。


以上、ご参考になりましたら。

No.4 回答者： ZIMA0063 回答日時： 2008/09/23 22:00

A　（200-188）×100＝1200

B　1200÷（188-183）＝240
C　240+100＝340

この上の3つの式の意味を理解する必要がありますので、
1つずつ説明をします。

こういう問題は、平均値からどれだけオーバーしているか、
平均値からどれだけマイナスなのかを、積算して考えます。

A式
まず、何個買っても値段が割引されないとして、
1個が200円のまま、ｓ個だけ買ったときは、
200円×ｓ個＝(200×ｓ)円になります。

しかし実際には、「ｓ個買ったときの1個あたりの平均が188円」ということから、
全体で支払った金額は、188円×ｓ個＝(188×ｓ)円なので、
1個をずっと200円で買ったときの方が多く金額を払うということに気づかれるかと思います。

それは、全部200円で買うとすれば、何個買っても1個あたりの平均した値段は200円ですが、
「平均して188円」ということは、188円よりも安い値段で何個か買ったからということになります。

なので、ｎの値は100よりは大きくなるということがわかります。


もしすべてを200円で買ったとすれば、100個買ったときに、すべて188円で買ったときと、どれだけの金額差が出るかというと、
(200－188)×100＝1,200円だけ多く支払ったということになります。


B式
では、その多く払った1,200円を何個買えばチャラになる(元が取れる)のか。
それをB式で求めます。

A式とまったく同じようにして、「183円でｔ個だけ買う」とします。
一応、先ほどのｓとｔは別の数であるとします。
すると、183円×ｔ個＝（183×ｔ）円。

これに対し、平均値である「188円でｔ個買う」と、188円×ｔ個＝（188×ｔ）円。

もしすべて平均値の188円で買ったときと、183円で買ったときでの金額差は、
183円の方が1個あたり5円安く買えるので、ｔ個買えば、
5円×ｔ個＝(5×ｔ)円だけ安く買えるわけです。

A式で求めたオーバー分の1,200円をチャラにするには、
5円のお得×ｔコ＝1,200
ｔ＝1,200÷5＝240コ


C式
というわけで、
A式で100コ買ったときは1200円オーバーした。
B式では240コ買えば1200円分チャラにできた。
ゆえに、100＋240＝340。

なので、340個買えば、1個あたりの平均値が188円となります。

＜検算用＞
（200×100＋183×240）÷340＝？


文字で書くと、なんだかよくわかりにくいかもしれませんが、
面積図などを利用されるとわかりやすいかと思います。

No.3 回答者： revolution_2005 回答日時： 2008/09/23 21:52

答えの説明は、以下の通りです。

まず、最初は200円なので、平均188円に対して12円多い。
(200 - 188)

それが100個目まで
×100

合計
= 1200

次に、101個目から500個目までは183円なので、平均188円に対して
5円少ない。
(188 - 133)

最初の100個目までで1200円の余剰が出ているので、それと
合わせて0円になる地点を求める。
1200 ÷ (188 - 183) = 240

240個183円の商品を買って、かつ100個200円の商品を買った地点が
0の地点。
240 + 100 = 340

0の地点イコール188円の地点なので、340個が答え。

まあ、普通はNo.2さんの解答のような感じで考えると思います。
その問題集？の解答は不親切ですね。

No.2 回答者： nious 回答日時： 2008/09/23 21:43

183＜188＜200 より、とりあえず101≦n≦500として考えてみると、

{200*100+183(n-100)}/n=188 → n=340で条件を満たす。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
ウ～ン、ちょっとわかった気がします・・・

お礼日時：2008/09/24 16:12

No.1 回答者： noname#74443 回答日時： 2008/09/23 21:33

　すんげぇ基本的なこと。

　340円ではなく、340個ですが。

この回答へのお礼

あっ・・・ホントだ。スミマセン～間違ってましたm（__）m
ハズカシイ・・・

お礼日時：2008/09/24 16:09