非ユークリッド幾何での円

非ユークリッドの円（半径R）の円周の長さ、内部の面積の求め方をご存知の方、もしくは導出が載っている本をご存知の方いましたら教えてくれませんか。
なにしろ本が少ないのでまったくわかっていません・・・。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/04 19:05

球面幾何ですか。

それなら、
円の面積は、ほぼ半径だけで決まりますね。
円周で区切られたどっち側の面積か
といて問題は残るけれども。
そこは、とりあえず小さいほうの面積を採る
ことにしておきましょう。

曲率 ρ の実２次リーマン空間上の半径 r の円なら、
実３次ユークリッド空間内の半径 1/ρ の球面上、
測地線半径 r、すなわち頂角 2rρ の円蓋で表されます。

その面積 S は、回転体の面積公式を使って、
y = √((1/ρ)の２乗 - xの２乗) の下で
S = ∫[x = (1/ρ)cos(rρ) → 1/ρ] 2πy√(1 + (dy/dx)の２乗) dx.
すなわち、S = (2π/ρ) ∫[x = (1/ρ)cos(rρ) → 1/ρ] dx
= (2π/ρの２乗)(1 - cos(rρ)).

この回答へのお礼

ありがとうございます！参考にします。

お礼日時：2011/02/06 00:09

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/04 19:17

あ、しまった。

円周のどっち側云々は、気の迷い。
No.3 の計算だけで ok です。

No.2 回答者： HANANOKEIJ 回答日時： 2011/02/04 10:58

役に立つかどうか、わかりませんが、岩波書店「解析概論」ｐ．３７２　９９章直交座標の(７)、(８)の公式で、求められそうです。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/04 01:04

それは、まず、いま対象としている具体的な

非ユークリッド幾何学の上で、「円」を定義してからだ。
そして、その定義の下で
「円」の面積が「半径」だけで決まるのかどうか
考えてみること。

この回答へのお礼

素早いご回答ありがとうございます。
説明不足で申し訳ありません、球面幾何を想定しています。この場合は半径のみで決まると考えています

お礼日時：2011/02/04 01:52