No.2ベストアンサー
- 回答日時:
∠BAC=90゜,AB=ACの直角二等辺三角形ABCについて考える。
上の仮定かつ三角形ABCの面積は1より、
AB×AC×(1/2)=1(←底辺×高さ×1/2)
⇔AB^2=2
⇔AB=√2(=AC)
よって三平方の定理より、
BC^2=(√2)^2+(√2)^2=4
⇔BC=2
以上より、AB=AC=√2,BC=2
ここで三角形ABCの内接円の中心をO,半径をrとすると、内心の定義より下の二つが成り立つ。
・Oから辺AB,BC,ACに下ろした垂線の長さはそれぞれ内接円の半径(=r)に等しい
・Oから辺AB,BC,ACに下ろした垂線は、△OAB,△OBC,△OACの高さに相等する(=△OAB,△OBC,△OACの高さはr)
よって△OABの面積をS(△OAB)等とすると、
S(△OAB)=(1/2)×√2×r
(↑底辺AB=√2,高さr)
S(△OBC)=(1/2)×2×r
(↑底辺BC=2,高さr)
S(△OAC)=(1/2)×√2×r
(↑底辺AC=√2,高さr)
S(△ABC)=S(△OAB)+S(△OBC)+S(△OAC)=1
より、
{(1/2)×√2×r}+{(1/2)×2×r}+{(1/2)×√2×r}=1
これを解いて
r=1/(√2+1)=√2-1…(答)
(↑分母の有理化)
No.1
- 回答日時:
a>0として,三角形の頂点を
A(a,0),O(0,0),B(0,a)
とすると,面積について
(1/2)a^2=1∴a=√2
内接円半径をrとすると,0<r<a=√2.中心は(r,r)であり,これと直線AB:x/a+y/a=1との距離はrであるから,
r=|r/a+r/a-1|/√(1/a^2+1/a^2)=|2r-a|/√2=|2r-√2|/√2=|√2r-1|
r^2=|√2r-1|^2=2r^2-2√2r+1
r^2-2√2r+1=0
(r-√2)^2=1
r-√2=-1(∵r<√2)
r=√2-1(答)
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