絶対値と３乗が付いたグラフの書き方

Question

y = 2|x-1| - |2x+3|　のグラフを書け、という問題です。
昨日質問させて頂いた問題ととてもよく似ているのですが答えがないので確認したいです。
画像にのせた私の答えは合っていますか？

それからもうひとつ質問なのですが
これもグラフを書け、という問題です。
1)y=　(x-1)(x-2)(x-3) 
2)y=　|(x-1)(x-2)(x-3)|

恥ずかしながら１）の時点でもうわかりません。展開したのですが　ｘ^3が付いたものをグラフにするのは初めてです。
u-tube で似た様な問題の解き方があったのですが何か表に+,-　を付けていくものでよくわかりませんでした。　　
このタイプの問題はどうやって処理していけばいいのですか？
全部がわかる様に説明して頂くのは難かしいかもしれないのでとりあえず１）のグラフだけでも書ける様になりたいです。　考え方を教えて頂ければ有難いです。

宜しくお願い致します。

shuu_01 · Accepted Answer

３次関数のグラフの描き方はいろんなサイトに説明あります

たとえば、

3 次関数のグラフの概形
http://www.osaka-c.ed.jp/shijonawate/pdf/yuumeimondai/seikansu_8.pdf

グラフの概形
http://www.geocities.jp/k27c8_math/math/analysisI/shape_of_graph.htm

Wikipedia　三次関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0

極値が存在する3次関数のグラフのかき方
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/jissen/jissen49.html

とかです

今回の y=　(x-1)(x-2)(x-3) は最初から x衄との交点を教えてくれており、
親切です

展開すると、y ＝　x^3 - 6x^2 + 11x - 6

と y衄との交点もすぐわかります

グラフの傾きは微分して

y' ＝ 3x^2 - 12x + 11 のグラフも描くとわかります

y が正（プラス）の時は右肩上がり、負（マイナス）の時が右肩下がり、
プラスからマイナスに移行するゼロの時が頂点、
マイナスからプラスに移行するゼロの時が「谷底」です
（数学用語で、谷底ってなんて言うのかなぁ？　頂点で良かった気もする）

微分したのをさらに微分すると

y'' ＝ 6x - 12

となり、変曲点もわかります

こんかいは x ＜ 2 の時 y'' はマイナスで上に凸の曲線、
x ＞ 2 の時はプラスで下に凸の曲線、
x ＝ 2 の時に入れ替わり、そこが変曲点です

chikorin00 · Answer

1)y=(x-1)(x-2)(x-3)
2)y=|(x-1)(x-2)(x-3)|

2は1の負の部分を正にひっくり返すだけだから省きます。

1はx=1,2,3でy=0になることがわかると思います。
まず、微分します。
y'=(x-1)(x-2)+(x-1)(x-3)+(x-2)(x-3)
=3x^2-12x+11
y'=0のとき、x=(6±√3)/3
y'=3x^2-12x+11はx=(6±√3)/3を境に+,-,+と符号が変わるので、
y=(x-1)(x-2)(x-3)はx=(6±√3)/3で極大、極小となるわけです。

よって、こうなります。

shuu_01 · Answer

No.1 です

2) y=　|(x-1)(x-2)(x-3)|

のグラフ、間違っていたので直しました

yyssaa · Answer

絶対値と３乗が付いたグラフの書き方
y = 2|x-1| - |2x+3|　のグラフを書け、という問題です。
昨日質問させて頂いた問題ととてもよく似ているのですが答えがないので確認したいです。
画像にのせた私の答えは合っていますか？
＞合っています。

それからもうひとつ質問なのですが
これもグラフを書け、という問題です。
1)y=　(x-1)(x-2)(x-3) 
2)y=　|(x-1)(x-2)(x-3)|　
恥ずかしながら１）の時点でもうわかりません。展開したのですが　ｘ^3が付いたものをグラフにするのは初めてです。
u-tube で似た様な問題の解き方があったのですが何か表に+,-　を付けていくものでよくわかりませんでした。　　
このタイプの問題はどうやって処理していけばいいのですか？
全部がわかる様に説明して頂くのは難かしいかもしれないのでとりあえず１）のグラフだけでも書ける様になりたいです。　考え方を教えて頂ければ有難いです。
＞y=(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6 
y=0の解はx=1、2、3・・・・・(ア)
x=0の解はy=-6・・・・・(イ)
y'=dy/dx=3x^2-12x+11
y'=0の解はx={12±√(12^2-4*3*11)}/6={6±√3}/3
数値計算するとx≒1.4、2.6・・・・・(ウ)
y''=d^2y/dy^2=6x-12
y''=0の解はx=2・・・・・(エ)
グラフの形は
(ア)よりx=1、2、3でx軸と交差する。
(イ)よりy=-6でy軸と交差する。
(ウ)より、x≒1.4、2.6で接線が水平(x軸と平行)になる。
(エ)よりx＜2で上に凸(∩)、2＜xで下に凸(∪)。
(ウ)(エ)より、x≒1.4でyは極大、x≒2.6で極小となる。
なお、このことはx→-∞でy→-∞、x→∞でy→∞から、
グラフが左下から右上への形になることからも分かる。
添付図の通り。

info22_ · Answer

>y = 2|x-1| - |2x+3|　のグラフグラフを描けという問題ならグラフの特徴点は全て書き込んでおいた方がいいでしょう。ｙ切片の「-1」 x切片の「-1/4」 1)y=　(x-1)(x-2)(x-3) このグラフを書くには増減表を書いてから描くといいでしょう。書かないで概形を描くのであれば y=0と置けば、x切片、つまりx軸との交点がx=1,2,3であることがわかります。 x>>1で y=x^3 >> 1 x→∞で　y → (∞)^3 = ∞ x<<-1で　y=x^3 << -1 x→-∞で　y → x^3 = (-∞)^3　→　-∞ という特徴をつかんだら,主なx座標x=-1, 0, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5 におけるyを計算しあとは、これらの座標およびx軸との交点x=1,2,3を通り、|x|>>1ではグラフがy=x^3に漸近していくように滑らかな曲線で結んでやれば、目的のグラフが掛けます。曲線はx<<1でy≒x^3(<<-1)から出発してy切片x=-6を通り、x切片x=1でx軸と交差してy>0側の領域に進み山状に増加してから減少し(10の領域に進みあとは一途に増加しy=x^3の曲線に漸近しながら+∞の彼方へいきます。今の場合は縦軸と横軸の範囲は添付図位がの範囲が適当でしょう。この範囲では|x|>>1ではないためyはx^3に漸近しませんのでy=x^3の補助グラフは描く必要はないでしょう。 2)y=　|(x-1)(x-2)(x-3)| このグラフは、1)のグラフの曲線のy≧0のxの領域はそのままで、y<0のxの領域の部分だけ、x軸対称に曲線をy>0側に折返してやれば、2)のグラフの曲線となります。添付図参照。

gohtraw · Answer

ありがたいことに因数分解された形で与えられています。
ｙ＝０となるのはｘ＝１、２、３のときですね。このグラフは
（１，０）、（２，０）、（３，０）の三点でｘ軸と交わるということ
です。また、ｘ＝０のときｙ＝－６なので、（０、－６）を通る
ことも判ります。　・・・（ａ）

次にこの式を展開すると
ｘ＾３－６ｘ＾２＋１１ｘ－６
となり、これをｘで微分すると
２ｘ＾２－１２ｘ＋１１
となります。
２ｘ＾２－１２ｘ＋１１＝０　とおくと
ｘ＝３±（√１４／２）
つまりｘがこの値を取る時、グラフの傾きがゼロになります。　・・・（ｂ）

（あ）ｘ＜３－（√１４／２）では２ｘ＾２－１２ｘ＋１１＞０
（い）３－（√１４／２）＜ｘ＜３＋（√１４／２）　では２ｘ＾２－１２ｘ＋１１＜０
（う）ｘ＞３＋（√１４／２）　では２ｘ＾２－１２ｘ＋１１＞０
なので、
y=　(x-1)(x-2)(x-3) 
は（あ）の領域で増加（グラフは右上がり）
（い）の領域で減少（同　右下がり）
（う）の領域で増加　（同　右上がり）
となります。　・・・（ｃ）

（ａ）から（ｃ）のことをグラフにしてみて下さい。ｘ＝３±（√１４／２）のときの
y=　(x-1)(x-2)(x-3) 　の値も計算してみて下さい。
ご質問中の「表」というのは上記のことを表にしたものです。下記はご参考。
http://www.geocities.jp/k27c8_math/math/analysisI/shape_of_graph.htm

（２）の絶対値入りのほうは、（１）のグラフのｘ軸より下にある部分をｘ軸で
上に折り返した形になります。

asuncion · Answer

y = 2|x - 1| - |2x + 3|
x < -3/2, -3/2 ≦ x < 1, 1 ≦ xで場合分けする。
i)x < -3/2のとき
y = 2(-x + 1) - (-2x - 3)
= 5
ii)-3/2 ≦ x < 1のとき
y = 2(-x + 1) - (2x + 3)
= -4x - 1
iii)1 ≦ xのとき
y = 2(x - 1) - (2x + 3)
= -5
添付図のグラフが点(0, -1)を通ることを明記すれば完璧でありましょう。

y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
y = 0とおくと、x = 1, 2, 3であるから、このグラフは
(1, 0), (2, 0), (3, 0)を通る。
また、右辺を展開したときに現われる定数項は-6であるから、
このグラフは(0, -6)を通る。
後は、xが-3, -2, -1, 4, 5あたりの場合に
yがいくつになるかを計算し、先に求めた4点とあわせて
プロットすれば、グラフのおおよその形がわかるのではないかと思います。
絶対値が付いている方は、定番のやり方で
x < 1, 1 ≦ x < 2, 2 ≦ x < 3, 3 ≦ x
に場合分けします。
いずれの場合も、(1, 0), (2, 0), (3, 0)を通るのは
絶対値が付かない場合と同じです。やってみましょう。

shuu_01 · Answer

No.1 です

グラフの色、付け間違いました

でも、3) は全体の絶対値でプラスなので、

わかりますよね

でも、ごめんなさい m(_o_)m

shuu_01 · Answer

＞　y = 2|x-1| - |2x+3|　のグラフを書け、という問題です。
＞　画像にのせた私の答えは合っていますか？

合っています

＞　1)y=　(x-1)(x-2)(x-3) 
＞　2)y=　|(x-1)(x-2)(x-3)|　
＞　恥ずかしながら１）の時点でもうわかりません。
＞　このタイプの問題はどうやって処理していけばいいのですか？
＞　１）のグラフだけでも書ける様になりたいです。　
＞　考え方を教えて頂ければ有難いです。

まず、x軸、y軸と交わる点をプロットします

x軸と交わる点は簡単で、x＝1、x＝2、x＝3 の時です

y ＝　(x-1)(x-2)(x-3) を展開すると、

y＝ 3x^3 - 6x^2 + 11x - 6

となります

x ＝ 0 を入れると、y ＝ -6 となりますので、
y軸と交わるのは y ＝ -6 の時です

これで、半分以上できたことになります

次ぎにこのグラフの傾きを知るため、
y＝ 3x^2 - 6x^2 + 11x - 6　を微分します

y' ＝ 6x^2 - 12x + 11　となり
 （微分がわからないと難しいです）

y' がマイナスの時、グラフの傾きはマイナス、
すなわち右肩下がり、プラスの時 左肩下がり、
プラスとマイナスの入れ変わるゼロの時、
頂点とか谷底（← 正しい数学的用語はなんて
言うのかなぁ？　またチェックされそうｗ）
となります

y' ＝ 0 を解くと、計算に自信ありませんが、
y' ＝ 2±（1/3）√3 ですので、その点も
プロットすると万全ですが、今回は√とかあって
面倒臭いので、雰囲気でまぁおかしくはないな
くらいに見とけば良いです

絶対値と３乗が付いたグラフの書き方

３次関数のグラフの描き方はいろんなサイトに説明あります

1)y=(x-1)(x-2)(x-3)

No.1 です

絶対値と３乗が付いたグラフの書き方

>y = 2|x-1| - |2x+3| のグラフ

この回答への補足

ありがたいことに因数分解された形で与えられています。

この回答への補足

y = 2|x - 1| - |2x + 3|

この回答への補足

No.1 です

＞ y = 2|x-1| - |2x+3| のグラフを書け、という問題です。

この回答への補足

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