力学 ロケットの運動

時刻tの質量がM(t)であるようなロケットが一定の相対速度v'<0でガスを噴出しながら加速している状況を考える。ロケットの質量変化率dM/dtは一定(μ<0)であるとする。重力や抵抗力は無視する。
(1)地上の観測者から見たロケットの速度v(t)をとして、ロケットに関する運動方程式を導け。
(2)t=0のロケットの質量がM_0、速度が0であった。時刻t(0<t<M_0/-μ)における質量M(t)と速度v(t)を求めよ。

という問題で、(1)は運動量保存よりM(dv/dt)=v'(dM/dt)
であることはわかったのですが、(2)の質量M(t)が分かりません。
どのようにしたらよいですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/10/10 19:04

毎秒切り離す運動量は一定だから、ロケットは一定の力 F = μv' を受ける。

だから運動方程式は M(0)=M0 とすると　M(t) = M0 - μt

Ｆ ＝ （Ｍ0－μt）dv/dt 変数分離系なので解くと

v＝-(F/μ)log(M0－μｔ）+ C

t=0 で v=0 とという仮定を加えると

v＝-(F/μ)log(M0－μｔ）+ (F/μ)log(M0） = (F/μ)log(M0/(M0－μｔ)
= v'log(1/(1－(μ/M0)ｔ)


質量の9割が燃料とすると v = 2.3v'

No.1 回答者： ybnormal 回答日時： 2014/10/10 16:05

> ロケットの質量変化率dM/dtは一定(μ<0)であるとする

とあるんだから、dM/dt=μってことなんじゃないですか（時刻に0<t<M_0/-μという条件を付けているが、μが質量減少率だとすると、M_0/-μは質量が０になるまでの時間なのでdM/dt=μと考えることのつじつまが合う）。
μは一定なのだから、M_0(t=0)の初期条件を使ってこの微分方程式を解けばM(t)は求まります。
でM(t)がわかれば、M(dv/dt)=v'(dM/dt)を解いてv(t)は求まります。

計算は自分でやってください。