空間ベクトルの問題です。

一辺の長さが1の正四面体OABCがある。
辺OA,AB,BC を p :(1-p) (0<p<1)に内分する点をそれぞれL,M,Nとし、
OA↑=a↑,OB↑=b↑,OC↑=c↑とする。

(1)ベクトルML↑,MN↑をそれぞれa↑,b↑,c↑およびpを用いて表せ。また、内積ML↑・MN↑をpを用いて表せ。

(2)ベクトルLN↑をa↑,b↑,c↑およびpを用いて表せ。またLN↑の大きさ|LN↑|をpを用いて表せ。

(3)|LN↑|を最小にするpの値を求めよ。また、そのときの三角形LMNの面積を求めよ。

答えは
(1)ML↑=(2p-1)a↑-pb↑
MN↑=(p-1)a↑＋(1-2p)b↑＋pc↑
ML↑・MN↑=2p^2-2p＋1/2

(2)LN↑=-pa↑＋(1-p)b↑＋pc↑
|LN↑|=√2p^2-2p＋1

(3)p=1/2, 面積 1/8

となるらしいです。
全く分かりません…(汗
是非、詳しい途中計算お願いします。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  受験には使わない範囲の問題の課題だったのでこういった場を利用させていただきました。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/11/15 17:53

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/11/14 22:58

大学入試問題の大問一つを解説しろと言いますか…

記号はp以外全てベクトルとします

OL = pa
OM = (1-p)a + pb
ON = (1-p)b + pc
よって
ML = OL - OM
= pa - (1-p)a - pb
= (2p-1)a - pb

MN = ON - OM
=(1-p)b + pc - (1-p)a - pb
=(p-1)a + (1-2p)b + pc

ML・MN は単に上2つを掛けて、
|a|^2=|b|^2=|c|^2=1
ab = bc = ca = √3/2
を使うだけです

2)
1)と同様に
LN = ON - OL
で求まります

|LN|は
|LN|^2 = LN・LN
から|LN|^2を求めて平方根を求めるだけです
(ちなみに、書かれているルートは全体にかかりますね)

3)
|LN|が最小になる時は|LN|^2も最小になるので
d|LN|^2/dp=4p-2 = 0
p = 1/2

p=1/2の時中点連結定理より
|LM|=|MN|=1/2
|LN|^2 = 2*1/4 - 2/2 +a = 1/2
よって、△LMNは直角二等辺三角形
よって面積は
1/2*1/2*1/2 = 1/8

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/11/15 17:46

ベクトルＶ↑の２倍のベクトルは２Ｖ↑ですよね？

では、ｑ倍のベクトルは？
ｓ／ｒ倍のベクトルは？
ｐ／｛ｐ＋(１－ｐ)}倍のベクトルは？

という辺りの基礎問題からちゃんと解かなければ(繰り返し解いていつでも解けるようにしておかなければ)、回答を貰ったところでどうにもなりません。
(3)が解けるかどうかは色々でしょうが、(1)(2)は基礎問題です。
ここから解らないのは、基礎の勉強や演習がまるっきり足りていないということです。
また、基本的に、読んで解る解答解説が無い教材では勉強してはいけません。
過去問にたまたま解答解説が無いというのは仕方ありませんが、その場合、過去問「で」勉強することはできない、ということになります。
そもそも過去問「で」勉強するなんてのは大間違いですがね。
まず(1)(2)が解けるようになるには、難しすぎる教材を使わないことだろうと思います。