力積(運動量保存則)の問題

【問】
速さV_[0]で進む質量Mのロケットから質量mのガスを後方に噴射したところ、ロケットから
見てガスはuの速さで遠ざかった。噴射後のロケット(M-m)の速さVはいくらか。
----
私はこのようにして解きました。但し右向きを正とする。

ロケットから見たガスの速さがuであるから、地上から見たガスの速さは
V-(-u)=V-u
ガスとロケットそれぞれが受けた力積を表すと次のようになる。
ガス　　：-FΔt=-m(V-u)-MV_[0]
ロケット：FΔt=(M-m)V-MV_[0]
辺々を加えて
-m(V-u)-MV_[0]+(M-m)V-MV_[0]=0
2MV_[0]=(M-m)V-m(V-u)
V={(M-2m)V+mu}/2M
----
でも答えが違いました。
どこが間違えているのか教えてください。

宜敷お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/07 13:19

お示しのように、最初からロケットとガスを分けて考えるなら、

　噴射される前の「ガス」の運動量は、mV_[0]
　噴射される前の「ロケット」の運動量は、（M - m)V_[0]
ですよ。合計すると
　MV_[0]
です。

お示しのやり方だと、運動量の変化が力積に等しいとおいて
ガス　　：-FΔt= m(V-u) - mV_[0]
ロケット：FΔt= (M-m)V-(M - m)V_[0]
辺々を加えて
　(M-m)V - (M - m)V_[0] + m(V-u) - mV_[0] = 0
　MV = MV_[0] + mu
よって
　V = V_[0] + (m/M)u

通常は、
　噴射（分離）する前の運動量：MV_[0]
　噴射（分離）後の運動量：(M - m)V + m(u - V)
で、運動量保存からこの2つが等しいとおきます。
これで
　MV_[0] = (M - m)V + m(V - u)
より
　MV_[0] = MV - mu
　MV = MV_[0] + mu
∴　V = V_[0] + (m/M)u

この回答へのお礼

あなたが立ててくださった式と見比べながら参考書のいま一度読み直すことで、
この問題と、力積についての考え方を理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2016/06/08 10:24

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/08 00:58

単純に、ガス噴射前の運動量は

V_[0]M
ガス噴射後の運動量は
V(M-m)+(V-u)m

両者は運動量保存則から一致するので

V_[0]M=V(M-m)+(V-u)m=VM-um

だから

V=V_[0]+(m/M)u

で、

>ガス　　：-FΔt=-m(V-u)-MV_[0]
>ロケット：FΔt=(M-m)V-MV_[0]

どうやったらこうなるのでしょう。
どちらも元の運動量としてMV_[0]を採用しているのかな?
そんなはずないですよね。ガスとロケットは分けて考え
ないと。

ガスは質量 m の速度が V_[0]からV-u になるので
運動量変化=m(V-u-V_[0])
ロケットは質量 M-m の速度が V_[0] から Vになるので
運動量変化=(M-m)(V-V[0])

両者は相殺するので(運動量は保存するので)
m(V-u-V_[0])+ (M-m)(V-V[0])=-mu+M(V-V_[0])=0
→V=V_[0]+(m/M)u

この回答へのお礼

仰る通り、元の運動量はMV_[0]と考えていたのでした。
参考書にあった「注目物体について式を立てる」という意味が理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2016/06/08 10:24

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/06/07 13:38

そのまま運動量保存則を使ったら駄目なんですか？

噴射された燃料の実際の速度をvとして運動量保存の法則の式をたてると
M･V0 = (M-m)V + mv
燃料の速度vは、相対速度uと噴射後のロケットの速度Vを用いてv=V+u
これを代入すると
M･V0 = (M-m)V + m(V+u)

これをVについて解くと
V= V0+(m/M)u

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/06/07 13:13

>ガス　　：-FΔt=-m(V-u)-MV_[0]

一番大きな間違いはここ。
ガスの運動量がどのように変化したのかを考えると
変化前：mV_[0]
変化後：m(V-u)
ですので運動量変化(=受けた力積)は
m(V-u)-mV_[0]
となります。初めの項の符号と後ろの項の質量が間違っています。

それとロケットの部分も後ろの項の質量は(M-m)にしなければなりません。