数学の問題、教えてください。

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この問題の解答や解説がなくて困っています。

自然数ｎに対して次の命題を証明せよ。

（１）６＾（２ｎ）－４＾（２ｎ）は20の倍数である。
（２）６＾（２ｎ）＋４＾（２ｎ）－２は50の倍数である。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/23 09:56

（2）の25の倍数を示すのに次のような手もある：

mod25で
6²≡11＝1＋10、4²≡-9＝1-10　だから
６＾（２ｎ）＋４＾（２ｎ）＝(6²)＾n＋(4²)＾n≡(1＋10)＾n＋(1-10)＾n
ここで
(1＋10)＾n＋(1-10)＾n
＝1＋nC1･10＋整数･10²
＋1－nC1･10＋整数･10²＝2＋整数･10²≡2、（10²≡0(mod25)）
∴
６＾（２ｎ）＋４＾（２ｎ）＝(6²)＾n＋(4²)＾n≡2
６＾（２ｎ）＋４＾（２ｎ）－２≡0（mod25）

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/22 17:43

（1）は因数分解して6²-4²＝20の整数因数が出るからわかる。

（2）は2の倍数かつ25の倍数を示す：
2の倍数はあきらかだから、25の倍数を示す。
それには合同式を使う。
mod25に関して
6²≡11、6⁴≡-4、6⁶≡6、6⁸≡-9、6¹⁰≡1
4²≡-9、4⁴≡6、4⁶≡-4、4⁸≡11、4¹⁰≡1　より
ｎが1から5のときには
６＾（２ｎ）＋４＾（２ｎ）≡2　だから
６＾（２ｎ）＋４＾（２ｎ）－２≡0
つまり条件の式は25の倍数。
ｎ≧6のときは6¹⁰≡1、4¹⁰≡1より条件の式はｎが増えるに従って
6²＋4²、6⁴＋4⁴、6⁶＋4⁶、6⁸＋4⁸、6¹⁰＋4¹⁰の順番に、
これらと合同になってそれをくりかえす。
したがって
条件の式はすべての２ｎについて≡0
∴結果が出る。