数学で、自然数から整数を構成するとき、同値類から構成するみたいですが、素朴に、自然数にマイナスつけて

数学で、自然数から整数を構成するとき、同値類から構成するみたいですが、素朴に、自然数にマイナスつけて、マイナスのない自然数と足したら０になるとしては、だめなんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/01 13:22

いいですよ。

自然数の集合 N とその加法乗法は既知として、
　N = { "+", "-" }×N とする。
　加法については
　　("+",m) + ("+",n) = ("+",m+n),
　　("-",m) + ("-",n) = ("-",m+n),
　　("+",m) + ("-",n) = { m≧nのとき ("+",m-n),
　　　　　　　　　　　= { m<nのとき ("-",n-m),
　　加法可換.
　乗法については
　　("+",m) ・ ("+",n) = ("+",mn),
　　("-",m) ・ ("-",n) = ("+",mn),
　　("+",m) ・ ("-",n) = ("-",mn),
　　乗法可換.
と定義すれば、N×N の同値類で定義したのと
同型な環が定義できます。

見たまんまなので、初見では解りやすい気がする
かもしれませんが、これを使って何か証明しようとすると
毎回符号で場合分けが必要になるので、
けっこう扱いにくい定義になっています。
私は、N×N を (x,y)～(a,b) ⇔ x+b=a+y で分類する
例のやつのほうが好きだな。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
同等で、一見簡単そうだけど、実は使いにくいということですね。質問自体が成り立っているのかわからない状態での質問だったので、回答してもらえただけで嬉しいのですが、いいです。といわれ、補足までしていただき、たすかります。最初に自分でおもいついた定義がこれだったので、どうなのか疑問でした。

お礼日時：2022/08/01 14:54