私の考えはどこがおかしいのでしょうか？ １/3？ 1/2？

ベイズ理論入門の冒頭に出てくる問題です。

「スミス家には、２人の子がいます。そのうち、少なくとも1人は男の子です。では、2人とも男の子である確率はどのくらいでしょうか？」

回答では１/3で、これはこれで理解できます。

しかし、私は別に考えます。性別が分からない子は男の子と女の子の半分半分です。したがって2人とも男の子である確率は1/2である、と思います。

質問は、私の考えはどこがおかしいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• NO12様へ
  お礼の訂正をします。申し訳ありませんでした。
  誤り　第一子
  正しくは　1子

    補足日時：2023/09/16 12:47

No.18 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/09/19 08:45

回答がたくさん出ているので、同じ回答が出ているかとは思うのですが、とくに難しい数学は使わなくてもこういうことではないでしょうか？2人の子供がいるとして、男子と女子の場合分けは

OO
OX
XO
XX
の４つです。ここで、Oは男子、Xは女子。左から第1子、第2子です。男女の区別がわからないときは、2人とも男子である（つまりOOとなる）確率は4つの場合の一つなので1/4。少なくとも男子とわかっているなら、Oがはいるのは最初の3つの場合で、二人とも男子OOはその３つの場合の中の１つなので1/3となる、ということでしょう。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
＜少なくとも男子とわかっているなら、＞
確率における選択のある（残っている）のは、
OX
XO
の２項だと思いますが。すなわち1/２だと思いますが。

お礼日時：2023/09/19 18:22

No.21 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/09/27 06:16

教えてgooで、かつて80件近い回答が付いて炎上したことがある問題に似ています。

「女優Aには、２人の隠し子がいます。そのうち、少なくとも1人は男の子です※。では、2人とも男の子である確率はどのくらいでしょうか？　なお、男女が生まれる確率は同率とする。」

※の事実が、どのように判明したかで、確率が変わります。

①記者会見で「１人は男の子だ」と告白した場合・・・1/3

②１人の男の子を連れて歩いているのをフライデーされた場合・・・1/2

これ見よがしにベイズを使うのではなく、ベイズを使わないとこれらが説明できません。

ご質問者が迷うのは当然です。上記の如く観測事実が生起する「条件付き確率」によって「事後確率」が変わるからです。

この回答へのお礼

御尤も

お礼日時：2023/09/29 11:51

No.20 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2023/09/24 01:21

確率を計算する前に、考慮の対象としている（独立な）場合の数は全部で何個（A個）あるか。

さらに絞り込んだ条件の対象となる場合の数は何個（B個）あるかを数えましょう。確率はB/Aです。
これまでの回答者とおなじ表現にして、子供が2人の場合の数を数えましょう。（X，X）（X,O）（O,X）（O,O）は括弧の中の最初の項が第1子の性別、第2の項が第2子の性別を示します。これらは2子がいる場合に、すべて独立で全部で4個です。そのうち第1子が男の子の場合の数は2個、第1子が女の子の場合の数は2個です。第2子が男の子の場合は2個、第2子が女の子の場合は2個です。第1子、第2子毎に男女になる確率は1／2です。さて今考えている’少なくとも1人は男の子’の場合は（O,O）を除いた3個が考慮の対象とする全部になります。このなかで第1子、第2子とも男の子である場合の数は1個です。少なくとも一人は男の場合（事象と学ぶはず）の数は、｛（全事象の数）ー（2人とも女の事象の数）｝に減ります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/09/25 13:05

No.19 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/09/19 19:49

>＜少なくとも男子とわかっているなら、＞

確率における選択のある（残っている）のは、
OX
XO
の２項だと思いますが。すなわち1/２だと思いますが。

少なくとも1人が男子だから、3つの場合があるでしょう。
OO
OX
XO
の3つの場合です。（2人とも男子の場合（OO）も「少なくとも1人が男子」の場合の１つです！）よって、３つが平等の可能性があるなら、OO（二人とも男子の場合）の確率は、３つのうちの１つ、すなわち、1/3です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/09/25 13:04

No.17 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2023/09/17 13:58

私も質問者さんも専門レベルの知識はないでしょう。

数学の。たぶん大学初年級とか、それ以下で止まっているでしょう。で、大学に入ると誰でも（理系は）線形代数を習いますね。ご質問の確率・統計とは別分野の話になるけど。ここで、線形代数入門の冒頭に出てくるような問題を思い浮かべてください。

今は高校で「行列」を教えなくなってるから、大学では行列の計算から始めるようです。で、質問者さんのように行列の問題に横車を押してごねる人を、どう説得するか？　「私の考えはどこがおかしいのでしょうか？」と尋ねつつも、「自分の考えはおかしくない」と思い込んでる人を。

それは3つ方法があるでしょう。第1に直観で考えてもらう。第2に線形代数以前の初歩的理論。第3に線形代数の理論を理解させる。
この場合、第3こそ本筋でしょうが、質問者さんは「理解できないのが、これ見よがしにベイズを使うことです」とおっしゃってますよね？　線形代数を理解しようという気もないってことですよ。ならば、まず第1、第2の方法でしょう。
と言いますのは、線形代数入門の冒頭に出てくるような問題は、連立方程式の問題として考えても解けるようになっているから、線形代数以前の知識で解けるんです。一方、「私一人がベイズの話をしているような気がして来たわ」と第3の方法に固執する先生は、先生として利口じゃないのでは？　まあ私は先生じゃないけど。

ここで話を確率に戻します。第1に直観で考えてください。たとえばトランプのポーカーですが、手持ちの札の種類を揃えようとして、なかなか揃いませんよね。揃わずに混じった状態が多いです。
ご質問も同様です。2人の「少なくとも1人は男の子」の時、「男男」と揃うよりも、「男女」（または女男）と混じった状態が多いだろうと、直観的に気付きます。ならば、質問者さんの、「男男」の確率は1/2という考え方はおかしいんですよ。

第2に、ベイズ理論以前の、中学高校の確率の知識で考えてください。「理解できないのが、これ見よがしにベイズを使うことです」とおっしゃってますよね？
中学高校の確率の初歩は、次の3つから成り立っています。
a. すべての場合の数は？
b. 問題の条件に合う場合の数を、漏れなく重複なく数え挙げる。
c. bをaで割ると確率が求まる。

しかるに質問者さんは、この手続きを怠っているんですよ。そもそも、2人の子がいたら、男男、男女、女男、女女の4通りで、この4通りは「同様に確からしい」ですね。そして、ご質問においてaは「少なくとも1人は男の子」で男男、男女、女男の3通りです。bの「2人とも男の子」は男男の1通り、cは1/3です。
まあ、ほかの回答者さんもすでに書いていることですが。
これに対して1/2とおっしゃる質問者さんは、すべての場合の数、条件に合う場合の数を数え挙げていないじゃないですか。すべての場合の数が2、条件に合う場合の数が1だとおっしゃるんですか？　高校数学の手続きさえ、ネグレクトしているのです。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。

１．一子が男の子だと決まった時点なら、そのあとは、男男になるのか、男女になるのかの、推移です。したがって、男男になる確率は1/2ですね。
２．一番最初すなわち子供が生まれていない時点なら、1/4ですね。

お礼日時：2023/09/18 15:37

No.16 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/17 11:18

ちな、No.8 と No.9 の意見の対立がどうしてこうなっているのかは、

No.5 のリンク先に詳しい解説があります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/09/25 17:45

No.15 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/09/16 19:55

殆どの回答者がベイズを理解していないという現実は悲しいものがありますね。

しかも、マウント取るなんて最悪。
ご質問者さんの冷静な対応が光っていました。

この回答へのお礼

早速尾ご回答ありがとうございました。
理解できないのが、これ見よがしにベイズを使うことです。

お礼日時：2023/09/17 10:32

No.14 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/16 14:57

←No.11補足

男の子と判った子が
第一子なのか第二子なのかでは、答は変わりません。
第何子か判る場合と、どちらか判らない場合とで答えが異なるんです。
No.8②の注釈「連れ歩く子供の選択に恣意性は無いものとする」
の意味を考えてみましょう。

この回答へのお礼

御尤も

お礼日時：2023/09/17 10:33

No.13 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/09/15 22:51

回答者の中で、私一人がベイズの話をしているような気がして来たわ。

浮いててスミマセン。

ご質問者様も「これはこれで理解できます。」って、ベイズの公式を理解できたってことでは無かったのかな。

話が噛み合わなくて・・・
ベイズに関する質問かと誤解していた私が悪かったです。

この回答へのお礼

ご丁寧に

お礼日時：2023/09/16 12:32

No.12 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2023/09/15 19:02

> 質問は、私の考えはどこがおかしいのでしょうか？

ヒューマンファクターに惑わされ、客観的な思考ができてないのかも？　数学・統計学なんですから、抽象的に考えましょう。スミス家がヒューマンじゃなくて、たとえばペンギンさんだったら？
ペンギンさんの性別は、付きっきりでお世話して観察している飼育係でさえ、なかなか分からないそうです。第1次性徴（生まれた時から男児はペニス、女児は割れ目が視認される）がない。第2次性徴（お年頃になると体つきや声が男っぽく・女っぽくなる）もない。
ただし、ペニス・割れ目（すなわち外性器）は付いてませんが、体内では内性器の違い（男は精巣、女は卵巣・子宮）がもちろんあります。また、費用はかかりますが性染色体を顕微鏡で調べれば、性別は判定できます。

で、問題の答をxとしましょう。
スミス家には2人の子、ペンちゃんとギンちゃんがいます。まずペンちゃんを捕まえて、しげしげ眺めても、まあ性別は分からないわけですよ。
そこで、ペンちゃんを男と仮定すると、その確率は
x＋(1－x)×1/2
これは、x（ペンもギンも男の場合）と、それ以外の場合(1－x)の半分とを足し合わせたものです。半分というのは、質問者さんのおっしゃる通り（性別が分からない子は男の子と女の子の半分半分）だからです。

また、ペンちゃんを女と仮定すると、2人とも男である確率は0です。
したがって、次の方程式が成り立ちます。

(x＋(1－x)×1/2)×1/2＝x

ここで、2回目の「×1/2」は、ギンちゃんが男である確率が1/2だからです（質問者さんのおっしゃる通り）。これを解くと、
x＝1/3

ということで、「x＝1/2」とおっしゃる質問者さんは間違っています。数学というのは、方程式を立てて客観的に考察するものだと思います。方程式を立てずに、あーだこーだ言っても仕方ありません。

この回答へのお礼

一子は男の子ですね。

お礼日時：2023/09/16 12:32