私の考えはどこがおかしいのでしょうか？ １/3？ 1/2？

ベイズ理論入門の冒頭に出てくる問題です。

「スミス家には、２人の子がいます。そのうち、少なくとも1人は男の子です。では、2人とも男の子である確率はどのくらいでしょうか？」

回答では１/3で、これはこれで理解できます。

しかし、私は別に考えます。性別が分からない子は男の子と女の子の半分半分です。したがって2人とも男の子である確率は1/2である、と思います。

質問は、私の考えはどこがおかしいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• NO12様へ
  お礼の訂正をします。申し訳ありませんでした。
  誤り　第一子
  正しくは　1子

    補足日時：2023/09/16 12:47

No.1 回答者： Georgia.Rain. 回答日時： 2023/09/14 08:42

「性別が分からない子」なんて有り得ないですね。

産婦人科の先生が「赤ちゃんは無事生まれましたけど性別は不明です」なんて言うのでしょうか。

この回答へのお礼

ノーコメント

お礼日時：2023/09/14 09:32

No.2 回答者： hymiya 回答日時： 2023/09/14 08:51

自分で勝手に条件追加するところがおかしいのではないでしょうか。

この回答へのお礼

ノーコメント

お礼日時：2023/09/14 09:32

No.3 回答者： yoshimasa2000 回答日時： 2023/09/14 09:02

男の子が、第一子なのか第二子なのか、どちらか決まっていればおっしゃるとおり1/2です。

しかし条件としてはどちらであるとも決まっていないので、サイコロを2回振る必要があります。

サイコロを2回振ると、どうしても1/3になってしまいます。

あなたの考えが間違っているわけではありませんが、視点を「第一子が男の子」もしくは「第二子が男の子」とどちらかに固定してしまっているが故の1/2なのです。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
男の子が出ているのであるから、さいころは１回投げればいいのでしょう。

お礼日時：2023/09/14 17:46

No.4 回答者： ほい3 回答日時： 2023/09/14 09:05

１人目が男という場合だけ、

＞男の子と女の子の半分半分です。したがって2人とも男の子である確率は1/2である　
といえますが、本問題は、1人目が女もあり得るのに
排除している点で、答えになりません。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
＜1人目が女もあり得るのに
排除している点で、答えになりません。＞ですか。
排除しなければ、１/4
排除すれば、１/2でしょう。

お礼日時：2023/09/14 13:39

No.5 回答者： 瑠璃光 回答日時： 2023/09/14 10:16

いや、おかしいどころか・・あなたのような疑問の数々が正解を導いて色々と発展してきたのだと思います。

逆に多くの人が疑問に持って欲しいと感じます。
このサイトに詳しく解説されているので、参考にされてはどうでしょうか。
https://sist8.com/2cd
いやぁ～確率って奥が深い、でもそれが確率の面白さでもありますよね。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうござます。
＜1人が男の子なら「女女」は排除される＞がわかりません。
排除しないで、それも含めて確率を出すべき。と思います。
まあ、クイズ作家としては、常識も覆す１/3にしたいのでしょうが。

お礼日時：2023/09/14 14:53

No.6 回答者： poco_2 回答日時： 2023/09/14 10:29

お気持ち分かります。

問題の解き方は理解しても、感覚的に納得がいかないんですよ。
数学大好きだったのに、確率だけは大嫌いでした。

2人の子の組み合わせは「男男　男女　女男　女女」の4通りで、少なくとも1人が男の子なら「女女」は排除されるので答えは1/3。
ところが「上の子は男の子である」とすると2人とも男の子の確率は1/2。
（やっぱり納得いかない。－－;）
詳しくはないですけどベイズ理論だと両方1/2になるんじゃないでしょうか。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうござます。
＜1人が男の子なら「女女」は排除される＞がわかりません。
排除しないで、それも含めて確率を出すべき。と思います。
まあ、クイズ作家としては、常識も覆す１/3にしたいのでしょうが。

お礼日時：2023/09/14 14:53

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/14 22:21

＞ ＜1人が男の子なら「女女」は排除される＞がわかりません。

女女だったら1人が男の子にはなれないでしょう？
それがわからないんですか？

この回答へのお礼

いつの時点で、確率を求めるか、が必要です。
これは、一子が男の子だと決まった時点です。
そのあとは、男男になるのか、男女になるのかの、推移です。
したがって、男男になる確率は1/2desu.

お礼日時：2023/09/15 08:32

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/09/15 00:03

その本？には、本当に「」内のとおりに書いてありましたか？

条件付き確率を与える状況について言及は無いのですか？

ベイズでは、「少なくとも1人は男の子です。」という事実が、どういう状況で明らかになったかで事後確率が変わります。

①そのことをスミス自身さんが告白した。
②スミスさんが子供を一人連れて歩いているのを見かけたとき、男の子だった。（連れ歩く子供の選択に恣意性は無いものとする）

①の場合、条件付き確率は女女以外は全て１だから、男男の事後確率は1/3。

②の場合、条件付き確率は男男は１、男女と女男の場合は1/2だから、男男の事後確率は1/2。

その本？に書いてある1/3は、どういう計算式で出てきたのかしらね？


あと、おっしゃるとおり女女を最初から排除しなくても、①②のケースとも条件付き確率は０だから、周辺確率の段階で排除されます。

その際（最初から女女を含むか含まないか）、無情報事前分布として、男男・男女・女男・女女を各1/4にしても、女女を除いた３つを各1/3にしても、事後確率の結果は上記のとおりになります。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
まず、引用した文章が問題の全文です。
どの時点の確率を求めるのか、が必要ですね。
１．一番最初すなわち子供が生まれていない時点なら、1/4ですね。
２．一子が男の子だと決まった時点なら、そのあとは、男男になるのか、男女になるのかの、推移です。したがって、男男になる確率は1/2ですね。

お礼日時：2023/09/15 08:42

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/15 01:52

誤解してる人がいるようですが、

条件 A の下に事象 B が起こる確率の定義は
(AかつBが起こる確率)/(Aが起こる確率) です。
これは「条件つき確率」という言葉の定義なので、
なぜそうなるもへったくれもありません。
No.8 の①②では、
それらの条件下に子供が2人とも男の子である確率は
どちらも 1/3 で、違いはありません。

この回答へのお礼

ノーコメント

お礼日時：2023/09/15 10:26

No.10 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/09/15 02:26

#8です。

文章訂正です。

誤）①そのことをスミス自身さんが告白した。
↓
正）①そのことをスミスさん自身が告白した。

ついでに、条件付き確率を端折ってすみません。ありものがたりさんご指摘ありがとう。でも、事後確率は違ってきますよ。
その理由は、以下のように、条件付き確率が違うからです。

P(スミスさんが１人は男の子と告白｜男男)＝１
P(スミスさんが１人は男の子と告白｜男女)＝１
P(スミスさんが１人は男の子と告白｜女男)＝１
P(スミスさんが１人は男の子と告白｜女女)＝０

P(私が男の子を連れたスミスさんを観測｜男男)＝１
P(私が男の子を連れたスミスさんを観測｜男女)＝1/2
P(私が男の子を連れたスミスさんを観測｜女男)＝1/2
P(私が男の子を連れたスミスさんを観測｜女女)＝０

#5さんが紹介されたサイトの下の方に、「ひな祭りをすると言ったのを聞いた」と「娘さんを連れたスミスさんに会った」では確率が違うと書いてありますが、その場合、それらが生起する条件付き確率は、次のようになりますね。

P(ひな祭りをする｜男男)＝０
P(ひな祭りをする｜男女)＝１
P(ひな祭りをする｜女男)＝１
P(ひな祭りをする｜女女)＝１

P(娘さんを連れたスミスさんに会った｜男男)＝０
P(娘さんを連れたスミスさんに会った｜男女)＝1/2
P(娘さんを連れたスミスさんに会った｜女男)＝1/2
P(娘さんを連れたスミスさんに会った｜女女)＝１

これらをベイズの公式に代入すれば、事後確率が違ってくるのが分かります。お試しあれ。

この回答へのお礼

そうですか

お礼日時：2023/09/16 12:23