補数表現

情報の授業の「補数表現」に関する質問です
100100→反転→011011→1を足す→011100
100100→1を引く→100011→反転→011100
「1を引いて反転」と「反転して1を足す」の値が同じになったのですが、これは偶然でしょうか？それとも必然でしょうか？

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/19 21:29

元の数をaとすると

反転とは2進6桁なら 2^6-1-a だから1を足すと 2^6-a
a-1の反転は 2^6-1―(a-1)=2^6-a

同じです。

因みに2^6-1=111111(2進)
これから100100をひくと、各桁の計算は1-1=0 又は 1-0=1だから、
011011 になり反転します。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/19 13:20

伝統的に、それを「２の補数表現」と呼ぶのだけれど、

6ビットなら「2^6の補数表現」と言わなきゃオカシイ
と前々から感じているんだよね。 何が２か？と。

000000→反転→１11１11→1を足す→１000000　←0と一致しない
000000→1を引く　←負数が無ければ、そもそも引けない
足すとか引くとかいうのが mod 2^6 の話だという前提がなければ
なりたたないことなんだよ。

mod 2^n の話であれば、 ｘ をビット反転したものと x との和が
全ビット 1、すなわち 2^n - 1 になることから、
x →反転→ (2^n - 1) - x →1を足す→ 2^n - x ≡ -x,
ｘ →１を引く→ x-1 →反転→ (2^n - 1) - (x-1) = 2^n - x ≡ -x
になって、どちらも ≡ -x (mod 2^n) で一致する。これは必然。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/04/18 16:04

反転は全ビット1から引くという意味。

全ビット1=-1と言う意味だから、-1から引くという事。

-1-a+1=-a
-1-(a-1)=-a

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/18 09:47

必然です。

「逆演算」をしているわけですから。

あなたの書かれた
(A) 100100→反転→011011→1を足す→011100
(B) 100100→1を引く→100011→反転→011100
の (B) は、逆のプロセスで書けば
　011100→反転→100011→『1を足す』→100100
ということで、(A) と同じプロセスであることが分かりますよね？


「補数」（この場合はわざわざ「２の補数」と呼ぶらしい）とは
　100 100 + 011 100 = 1 000 000　　　①
になる関係です。
たし合わせると１つ上に桁上がりするということ。

「６ビット」で数値を扱うことにすれば（レジスターが６個しかないコンピュータに相当）、①の「７ビット目」は「桁あふれ」でどこかに消えてしまいます。結果として
「足し合わせると 0 になった」
ということになります。
つまり、一方は他方の「絶対値が同じ負数」であるとみなせるということです。

なので、コンピュータではこれを「負数」として扱うことにしています。
もちろん「数値を何ビットで扱うことにするか」を決めて、その「１ビット上」が桁上がりで消滅することを使うので、「何ビットで表現するか」を決めないと「補数」も決まりません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/18 01:56

ビット反転が「-1 から引く」ことに相当する, ということを理解していれば「当然そうなるに決まっている」と一瞬で判断できる.