補数表現

情報の授業の「補数表現」に関する質問です
100100→反転→011011→1を足す→011100
100100→1を引く→100011→反転→011100
「1を引いて反転」と「反転して1を足す」の値が同じになったのですが、これは偶然でしょうか？それとも必然でしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/19 21:29

元の数をaとすると

反転とは2進6桁なら 2^6-1-a だから1を足すと 2^6-a
a-1の反転は 2^6-1―(a-1)=2^6-a

同じです。

因みに2^6-1=111111(2進)
これから100100をひくと、各桁の計算は1-1=0 又は 1-0=1だから、
011011 になり反転します。

この回答へのお礼

元の数をaとした場合の反転操作について、数式を用いて丁寧に解説してくださったおかげでとてもわかりやすかったです！

お礼日時：2024/07/24 00:27

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/19 13:20

伝統的に、それを「２の補数表現」と呼ぶのだけれど、

6ビットなら「2^6の補数表現」と言わなきゃオカシイ
と前々から感じているんだよね。 何が２か？と。

000000→反転→１11１11→1を足す→１000000　←0と一致しない
000000→1を引く　←負数が無ければ、そもそも引けない
足すとか引くとかいうのが mod 2^6 の話だという前提がなければ
なりたたないことなんだよ。

mod 2^n の話であれば、 ｘ をビット反転したものと x との和が
全ビット 1、すなわち 2^n - 1 になることから、
x →反転→ (2^n - 1) - x →1を足す→ 2^n - x ≡ -x,
ｘ →１を引く→ x-1 →反転→ (2^n - 1) - (x-1) = 2^n - x ≡ -x
になって、どちらも ≡ -x (mod 2^n) で一致する。これは必然。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/04/18 16:04

反転は全ビット1から引くという意味。

全ビット1=-1と言う意味だから、-1から引くという事。

-1-a+1=-a
-1-(a-1)=-a

この回答へのお礼

数式を用いてくださったおかげですらすら理解できました！ありがとうございます！

お礼日時：2024/07/24 00:15

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/18 09:47

必然です。

「逆演算」をしているわけですから。

あなたの書かれた
(A) 100100→反転→011011→1を足す→011100
(B) 100100→1を引く→100011→反転→011100
の (B) は、逆のプロセスで書けば
　011100→反転→100011→『1を足す』→100100
ということで、(A) と同じプロセスであることが分かりますよね？


「補数」（この場合はわざわざ「２の補数」と呼ぶらしい）とは
　100 100 + 011 100 = 1 000 000　　　①
になる関係です。
たし合わせると１つ上に桁上がりするということ。

「６ビット」で数値を扱うことにすれば（レジスターが６個しかないコンピュータに相当）、①の「７ビット目」は「桁あふれ」でどこかに消えてしまいます。結果として
「足し合わせると 0 になった」
ということになります。
つまり、一方は他方の「絶対値が同じ負数」であるとみなせるということです。

なので、コンピュータではこれを「負数」として扱うことにしています。
もちろん「数値を何ビットで扱うことにするか」を決めて、その「１ビット上」が桁上がりで消滅することを使うので、「何ビットで表現するか」を決めないと「補数」も決まりません。

この回答へのお礼

>必然です。
「逆演算」をしているわけですから。
うわ、、本当ですね
すごく単純なことなのに考えが全く及びませんでした

補足も読ませていただきました
今まで補数の問題はなんとなく公式に当てはめて解いていたので、補数の原理のようなものを理解出来てとても勉強になりました！

おかげさまで、今後は公式を使うだけでなく、なぜその公式が成り立つのかを考えながら問題に取り組むことができそうです！

お礼日時：2024/07/24 00:20

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/18 01:56

ビット反転が「-1 から引く」ことに相当する, ということを理解していれば「当然そうなるに決まっている」と一瞬で判断できる.