確率の問題

とある死刑囚は、毎日２分の１の確率で死刑が執行される可能性があります。この場合、この死刑囚は平均何日目に殺されるのでしょうか

No.4 ベストアンサー 回答者： trokky 回答日時： 2011/10/22 11:55

死刑囚が死刑執行された回数をn回とし、死刑囚が無限回死んだときの平均死刑執行日数を求めるというのはどうですかね？

無限回執行したら、たぶんn* 1/2回一日目に、n* 1/4回二日目に死ぬのだと思います。
これを使って求める平均日数dは

d=1/n * Σ[n=1→∞]((1/2)^n * n)

＜nd=(1/2 * 1)+(1/4 * 2)+・・・・+{(1/2)^(n-1) *(n-1)}+{(1/2)^n *n}+・・・・
　2nd= (1 * 1)+(1/2 * 2)+・・・・+{(1/2)^n * (n-1)} +{(1/2)^(n+1) *n}+・・・・

lim[n→∞]{(1/2)^(n+1) *n} =・・
=0
より
d=1/n *(2nd-nd)
=(1 * 1)+ Σ[n=1→∞]((1/2)^n)
=1+(1/2-(1/2)^∞)/(1- 1/2)
=2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＞

上記の期待値のと同じ感じはありますが。。。
一応考えてみたので投稿しました。

この回答へのお礼

みなさんありがとうございました２日ジャストになるというのが驚きでした

お礼日時：2011/10/22 21:53

No.3 回答者： kkk17 回答日時： 2011/10/22 10:15

独立事象ですので、1日目で処刑される方やいつまでたっても処刑されない方がいるため、日数では示せません。

ただ、平均すれば、２日目です。

No.2 回答者： banakona 回答日時： 2011/10/22 10:01

期待値Ｅを計算してみる。

　Ｅ＝１・1/2＋２＋２・(1/2)^2＋３・(1/2)^3＋４・(1/2)^4＋・・・　（１）

両辺を1/2倍して
　Ｅ/2＝　　　　１・(1/2)^2＋２・(1/2)^3＋３・(1/2)^4＋・・・　（２）

（１）－（２）
　(1-1/2)Ｅ＝(1/2)^2＋(1/2)^3＋(1/2)^4＋・・・

左辺はＥ/2、右辺は初項1/2、公比1/2の無限等比級数だから
　　Ｅ/2＝1/2／（1-1/2）
　　Ｅ／２＝１
　　∴Ｅ＝２

という訳で平均２日目

No.1 回答者： pasocom 回答日時： 2011/10/22 08:58

解答は不可能だと思います。

なぜなら、その死刑囚は、
1日目に死刑になる可能性＝1/2。
2日目に死刑になる可能性＝1/2ｘ1/2＝1/4。
3日目に死刑になる可能性＝1/2ｘ1/2ｘ1/2＝1/8。
4日目に死刑になる可能性＝1/2ｘ1/2ｘ1/2ｘ1/2＝1/16。
・・・・・
という確率が延々と（永久に）続きます。何日何百年たっても死刑にならない可能性も非常にわずかですがあるのです。
「この死刑囚は平均何日目に殺されるのでしょうか 。」
という場合、死刑になる可能性の日が有限でなければ平均の出しようがありません。
ところが、死刑になる可能性の日にちは無限にあるので平均を出すための割り算ができません。