世の中全てが「正規分布」なのか？

Question

世の中の多くの事象が正規分布に従う　（→　中心極限定理？）があります。　（多くの例外があるどころか、むしろ正規分布に従うものは少ないこともわかってきた・・・　などという意見もあるものの。）

・「じゃあ、サイコロはどうなんだ？」

・「なぜ、サイコロやコインの話には、正規分布が当てはまらないんだ？」

・・・という疑問に、答えを出すことができません。

たしかに、「なんとなく、そんなはずがないだろう」　という風には　わかっているつもりなのですが、

「どういうものに、正規分布が当てはまる（と、統計学では仮定されることが多い？）のか」　　・・・　という風に　あらためてきかれると、うまく説明ができずに　もどかしい思いをしています。

「　どういう条件／事象について、　正規分布が当てはまるのか・・・？」

という問いに、中高生にも理解ができるようなスッキリした　説明を、お願いします。

rabbit_cat · Accepted Answer

「　どういう条件／事象について、　正規分布が当てはまるのか・・・？」
中心極限定理そのままですが、その現象が、（互いに独立な）多数の要因（の足し合わせ）によって、起こっている場合です。

上で、「互いに独立な」にカッコをつけたのは、要因が非常に多数の場合には、この条件は不要になることが多いからです。また、「の足し合わせ」の条件も、要因が非常に多数の場合には、不要になることが多いです。
（ただし、これが成り立たない例外もいくつもありますが）

というわけで、通常は、注目している現象が、とにかく非常に多数の要因によって起こっている、と考えられる場合には正規分布になります。
サイコロであれば、サイコロを１個だけ投げるのであれば、正規分布ではありませんが、サイコロを１万個なげたときの出目の平均は、正規分布と考えてよいです。

rabbit_cat · Answer

書き忘れますが、非常に多数の要因それぞれは、必ずしも同じ分布である必要はありません。
たとえば、サイコロ１万個と、コイン１万個（表なら１、裏なら０とする）と、、の和も正規分布になります。また、全てのサイコロが歪んでいて、それぞれのサイコロで、出目の確率が異なっていてもよいです。

superkeroyon · Answer

No.4は、中心極限定理についてです。
（正規分布がそのままあてはまる、、、ではなく、サンプルのサイズを大きくすると正規分布に近くなるのが、どういう場合にあてはまるか、の説明です）

superkeroyon · Answer

（統計学ってほとんどわすれちゃったんですが、、、記憶からすると）

正規分布が当てはまるというのは、n個の事象の平均値と、事象そのものの平均との差の値が、任意の範囲になる確率が、正規分布を使ったものの計算に近ずくってことで、事象そのものが、サイコロの目のように、有限の値をとるものでも成立するはずです。

>「　どういう条件／事象について、　正規分布が当てはまるのか・・・？」
>という問いに、中高生にも理解ができるようなスッキリした　説明を、お願いします。

各事象が同じ確からしさで起き、互いに影響せず（数学的には独立）、しかも分散が定まる時に、成立します。

pkuobe99 · Answer

人に関して言えば。科学は進んでもいい人悪い人の本来の比率は同じとか

政治意識では単峰型や他の意識が存在するようです。

庭園など左右対称という人が土地をどうにかできる西洋は人為的、あるいはかんがえられたものかもしれないですね。

doc_somday · Answer

>どういうものに、正規分布が当てはまる（と、統計学では仮定されることが多い？）のか

本来「等価」であるべきであるが、「場合の数」が「可付番」無限(アレフゼロ)に充分近いとガウス分布(正規分布、ガウス函数)になる。

サイコロは場合の数が六、コインなんか二、可付番無限と逆の極限、だから当てはまる筈が無い。

充分多いデータをフーリエ変換しガウス函数を別の函数を変えてやったりすると、「画像」から「とんでもない物が見える」こともある。

Tacosan · Answer

「細々とした誤差が積み重なる」ような状況だと, 中心極限定理が効いて正規分布になる傾向があります. 例えば「10 cm の長さの棒を切り出せ」っていうと, できる棒の長さは正規分布になりやすい, はず. あと, 身長は正規分布に近かったはず.

体重や年間所得は正規分布にならないんだけどね.